Liczby log_k x, log_m x i log_n x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wobec tego: 

${\log }_{m}x=\frac{{\log }_{k}x+{\log }_{n}x}{2}\mid \cdot 2$  

$2{\log }_{m}x={\log }_{k}x+{\log }_{n}x$  

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

$2\cdot \frac{{\log }_{kn}x}{{\log }_{kn}m}=\frac{{\log }_{kn}x}{{\log }_{kn}k}+\frac{{\log }_{kn}x}{{\log }_{kn}n}\mid :{\log }_{kn}x$  

$\frac{2}{{\log }_{kn}m}=\frac{1}{{\log }_{kn}k}+\frac{1}{{\log }_{kn}n}$  

Ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$\frac{2}{{\log }_{kn}m}=\frac{{\log }_{kn}n}{{\log }_{kn}k\cdot {\log }_{kn}n}+\frac{{\log }_{kn}k}{{\log }_{kn}n\cdot {\log }_{kn}k}$  

$\frac{2}{{\log }_{kn}m}=\frac{{\log }_{kn}n+{\log }_{kn}k}{{\log }_{kn}k\cdot {\log }_{kn}n}$  

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o takich samych podstawach.

$\frac{2}{{\log }_{kn}m}=\frac{{\log }_{kn}\left(n\cdot k\right)}{{\log }_{kn}k\cdot {\log }_{kn}n}$  

$\frac{2}{{\log }_{kn}m}=\frac{{\log }_{kn}\left(kn\right)}{{\log }_{kn}k\cdot {\log }_{kn}n}$  

$\frac{2}{{\log }_{kn}m}=\frac{1}{{\log }_{kn}k\cdot {\log }_{kn}n}\mid \cdot {\log }_{kn}n$  

$\frac{2\cdot {\log }_{kn}n}{{\log }_{kn}m}=\frac{1}{{\log }_{kn}k}\mid \cdot {\log }_{kn}m$  

$2\cdot {\log }_{kn}n=\frac{{\log }_{kn}m}{{\log }_{kn}k}$  

Przekształcamy lewą stronę równania, korzystając z odpowiedniego wzoru.

${\log }_{kn}{n}^2=\frac{{\log }_{kn}m}{{\log }_{kn}k}$  

Ponownie korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu.

${\log }_{kn}{n}^2={\log }_{k}m$  

Wobec tego:

${\left(nk\right)}^{{\log }_{kn}{n}^2}={\left(nk\right)}^{{\log }_{k}m}$  

Zatem:

$n^2={\left(nk\right)}^{{\log }_{k}m}$  

Co należało dowieść.