a) Ośmiocyfrowa liczba ma być parzysta, więc cyfrę jedności wybieramy spośród 2 cyfr (2 lub 4), pozostałe siedem cyfr wybieramy spośród 5 cyfr.

Liczba wszystkich możliwości:

$2\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=2\cdot 5^7$  

b) Ośmiocyfrowa liczba ma być nieparzysta, więc cyfrę jedności wybieramy spośród 3 cyfr (1, 3 lub 5), pozostałe siedem cyfr wybieramy spośród 5 cyfr.

Liczba wszystkich możliwości:

$3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3\cdot 5^7$  

c) Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.

Wypiszmy możliwe reszty z dzielenia przez 3 liczb ze zbioru {1, 2, ..., 5}, jakie możemy uzyskać, by otrzymać ośmiocyfrową liczbę podzielną przez 3.

Mamy więc:

1. siedem liczb, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4) i jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 7⋅1+2=9. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^8$  
   
   
2. sześć liczb, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4) i dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 6⋅1+2⋅0=6. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=2^6$  
   
   
3. pięć liczb, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 5⋅1+2⋅2+0=9. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1=2^7$  
   
   
4. cztery liczby, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4) i cztery liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 4⋅1+4⋅2=12. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^8$  
   
   
5. cztery liczby, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i trzy liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 4⋅1+1⋅2+3⋅0=6. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1=2^5$  
   
   
6. trzy liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), trzy liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 3⋅1+3⋅2+2⋅0=9. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=2^6$  
   
   
7. trzy liczby, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4) i pięć liczb, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 3⋅1+5⋅0=3. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=2^3$  
   
   
8. dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), pięć liczb, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 2⋅1+5⋅2+1⋅0=12. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1=2^7$  
   
   
9. dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i cztery liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 5⋅1+2⋅2+0=9. 
   Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=2^4$  
   
   
10. jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), i siedem liczb, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 1⋅1+7⋅2=15. 
    Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^8$  
    
    
11. jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), cztery liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i trzy liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 1⋅1+4⋅2+3⋅0=9. 
    Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1=2^5$  
    
    
12. jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4), jedną liczbę, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i sześć liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 1⋅1+1⋅2+6⋅0=3. 
    Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=2^2$  
    
    
13. sześć liczb, które przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1 (2 możliwości: 1 lub 4) i dwie liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 6⋅1+2⋅0=6. 
    Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=2^6$  
    
    
14. trzy liczby, które przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 (2 możliwości: 2 lub 5) i pięć liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 3⋅2+5⋅0=6. 
    Liczba możliwości:  $2\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=2^3$  
    
    
15. osiem liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 (1 możliwość: 3). Suma tych reszt jest liczbą podzielną przez 3, ponieważ 8⋅0=0. 
    Liczba możliwości:  $1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1$  
    
    

Liczba wszystkich możliwości:

$2^8+2^6+2^7+2^8+2^5+2^6+2^3+2^7+2^4+2^8+2^5+2^2+2^6+1=3\cdot 2^8+2\cdot 2^7+3\cdot 2^6+2\cdot 2^5+2^4+2^3+2^2+1=3\cdot 256+2\cdot 128+3\cdot 64+2\cdot 32+16+8+4+1=3\cdot 256+2\cdot 128+3\cdot 64+2\cdot 32+16+8+4+1=1309$