Zbadaj ciągłość funkcji f ...- Zadanie 7: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 1/2, czyli $D_{f} = R \ {\frac{1}{2}}$ . Funkcja $f$ jest więc określona w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{2 ( x _{n} ) ^{2} - 3 x _{n} + 4}{2 x _{n} - 1} = \frac{n \to + \infty lim ( 2 ( x _{n} ) ^{2} - 3 x _{n} + 4 )}{n \to + \infty lim ( 2 x _{n} - 1 )} =$

$= \frac{2 \cdot n \to + \infty lim ( x _{n} ) ^{2} - 3 \cdot n \to + \infty lim x _{n} + n \to + \infty lim 4}{2 \cdot n \to + \infty lim x _{n} - n \to + \infty lim 1} = \frac{2 \cdot ( - 1 ) ^{2} - 3 \cdot ( - 1 ) + 4}{2 \cdot ( - 1 ) - 1} =$

$= \frac{2 \cdot 1 + 3 + 4}{- 2 - 1} = \frac{9}{- 3} = - 3 .$

Aby funkcja $f$ była ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , spełniony musi być warunek $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1)$ .

Obliczamy wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = - 1$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot ( - 1 ) ^{2} - 3 \cdot ( - 1 ) + 4}{2 \cdot ( - 1 ) - 1} = \frac{1 + 3 + 4}{- 2 - 1} = \frac{9}{- 3} = - 3$

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , ponieważ $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1) .$

$b)$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli $D_{f} = R$ . Funkcja $f$ jest więc określona w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{( x _{n} + 1 ) ( x _{n} - 2 )}{( x _{n} ) ^{2} - x _{n} - 2} = n \to + \infty lim \frac{( x _{n} + 1 ) ( x _{n} - 2 )}{( x _{n} + 1 ) ( x _{n} - 2 )} = n \to + \infty lim 1 = 1$

Funkcja $f$ nie jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , ponieważ

$x \to - 1 lim f (x) = 1 \neq = 0 = f (- 1) .$

$c)$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych -3, czyli $D_{f} = ⟨ - 3; + \infty)$ . Funkcja $f$ jest więc określona w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{x _{n} + 3}{( x _{n} ) ^{2} + 1} = \frac{n \to + \infty lim x _{n} + 3}{n \to + \infty lim ( ( x _{n} ) ^{2} + 1 )} = \frac{n \to + \infty lim x _{n} + 3}{n \to + \infty lim ( x _{n} ) ^{2} + n \to + \infty lim 1} = \frac{2}{2}$

Aby funkcja $f$ była ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , spełniony musi być warunek $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1)$ .

Obliczamy wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = - 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3}{( - 1 ) ^{2} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2}$

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , ponieważ $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1) .$

$d)$

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 1, czyli $D_{f} = R \ {1}$ . Funkcja $f$ jest więc określona w punkcie $x_{0} = - 1$ .

Załóżmy, że $(x_{n})$ jest dowolnym ciągiem argumentów funkcji $f$ takim, że $x_{n} \neq = - 1$ oraz $n \to + \infty lim x_{n} = - 1$ . Wtedy

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = n \to + \infty lim \frac{( x _{n} - 1 ) ( ( x _{n} ) ^{2} + x _{n} + 1 )}{( x _{n} ) ^{3} - 1} = n \to + \infty lim \frac{( x _{n} - 1 ) ( ( x _{n} ) ^{2} + x _{n} + 1 )}{( x _{n} - 1 ) ( ( x _{n} ) ^{2} + x _{n} + 1 )} =$

$= n \to + \infty lim 1 = 1 .$

Aby funkcja $f$ była ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , spełniony musi być warunek $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1)$ .

Obliczamy wartość funkcji $f$ w punkcie $x_{0} = - 1$ .

$f (- 1) = \frac{( - 1 - 1 ) ( ( - 1 ) ^{2} + ( - 1 ) + 1 )}{( - 1 ) ^{3} - 1} = \frac{- 2 \cdot ( 1 - 1 + 1 )}{- 1 - 1} = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2} = \frac{- 2}{- 2} = 1$

Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x_{0} = - 1$ , ponieważ $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1) .$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.