$\text{1)}$  

Wykażemy, że funkcje potęgowe  $f\left(x\right)=x^n,$  gdzie  $n\in {\mathbb{N}}_{+},$  są funkcjami ciągłymi w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$ .

Z punktu 2) uwagi znajdującej się na stronie 18, wiemy, że funkcja $y=x$  jest ciągła w każdym punkcie $x_0\in \mathbb{R}$ . 

Z punktu 4) twierdzenia pierwszego ze strony 19 wiemy, że iloczyn dwóch funkcji ciągłych punkcie $x_0$  jest funkcją ciągłą w tym punkcie. Ciągłe w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$  są zatem funkcje  $y=x\cdot x=x^2,$   $y=x^2\cdot x=x^3,$   $\dots ,$   $y=x^{n-1}\cdot x=x^n$ . Wobec tego w każdym punkcie $x_0\in \mathbb{R}$  ciągłe są funkcje postaci $f\left(x\right)=x^n,$  gdzie  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ .

---

$\text{2)}$  

Wykażemy, że funkcje wielomianowe  $w\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$  gdzie  $n\in {\mathbb{N}}_{+},$  są funkcjami ciągłymi w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$ .

Ciągłość takich funkcji możemy wykazać, wykorzystując dowód ciągłości funkcji potęgowych oraz punkty 1) i 2) twierdzenia pierwszego ze strony 19.

Pokazaliśmy już, że funkcje potęgowe  $f\left(x\right)=x_n,$  gdzie  $n\in {\mathbb{N}}_{+},$  są ciągłe w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$ .

Z punktu 1) twierdzenia pierwszego wiemy, że iloczyn dowolnej liczby rzeczywistej i funkcji ciągłej w punkcie $x_0$  jest funkcją ciągłą w tym punkcie. Ciągłe w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$  są zatem funkcje  $y=a_n{x}_n,$   $y=a_{n-1}{x}^{n-1},$   $\dots ,$   $y=a_{1}x$  oraz $y=a_0$ . 

Z punktu 2) twierdzenia pierwszego wnioskujemy, że suma funkcji ciągłych w punkcie $x_0$  jest funkcją ciągłą w tym punkcie. Wobec tego w każdym punkcie $x_0\in \mathbb{R}$  ciągła jest funkcja  $w\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ .

---

$\text{3)}$  

Wykażemy, że funkcje wymierne $f\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{v\left(x\right)},$  gdzie  $w\left(x\right)$  oraz $v\left(x\right)$  są wielomianami i $v\left(x\right)\ne 0$  są funkcjami ciągłymi w każdym punkcie  $x_0\in D_f$ .

Dziedziną funkcji  $f$  jest dziedzina funkcji $v$ . Przyjmijmy, że jest to zbiór  $D_f$ . Funkcja  $f$  jest określona w każdym punkcie  $x_0\in D_f$ .

Pokazaliśmy już, że funkcje wielomianowe $w\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,$  gdzie  $n\in {\mathbb{N}}_{+},$  są funkcjami ciągłymi w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$ .

Z punktu 5) twierdzenia pierwszego wiemy, że iloraz dwóch funkcji ciągłych w punkcie $x_0$  jest funkcją ciągłą w tym punkcie. Ciągła w każdym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}$  jest funkcja  $y=w\left(x\right)$ , a ciągła w każdym punkcie  $x_0\in D_f\subset \mathbb{R}$  jest funkcja  $y=v\left(x\right)$ . Ciągła w każdym punkcie  $x_0\in D_f$  jest zatem funkcja  $f\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{v\left(x\right)},$  gdzie  $v\left(x\right)\ne 0$ .