a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

---

Mamy dane

$\alpha =\frac{2\pi }{3}$  

---

Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu:

$d=a\sqrt{2}$  

---

Z tw. cosinusów dla trójkąta BED:

$d^2=x^2+x^2-2\cdot x\cdot x\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$  

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2=2x^2-2x^2\cdot \cos {120}^{\circ }$  

$2a^2=2x^2-2x^2\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)$  

$2a^2=2x^2-2x^2\cdot \left(-\cos {60}^{\circ }\right)$  

$2a^2=2x^2-2x^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$  

$2a^2=2x^2+x^2$  

$2a^2=3x^2\mid :3$  

$\frac{2a^2}{3}=x^2$  

$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=x$  

$x=\frac{\sqrt{6}a}{3}$  

---

Zauważmy, że:

$x\cdot b=h\cdot a\mid :x$  

$b=\frac{h\cdot a}{x}$  

Zatem

$b=\frac{h\cdot a}{\frac{\sqrt{6}a}{3}}$  

$b=\frac{3h}{\sqrt{6}}$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta CFS:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+h^2=b^2$  

$\frac{a^2}{4}+h^2={\left(\frac{3h}{\sqrt{6}}\right)}^2$  

$\frac{a^2}{4}+h^2=\frac{9h^2}{6}$  

$\frac{a^2}{4}+h^2=\frac{3h^2}{2}\mid -h^2$  

$\frac{a^2}{4}=\frac{h^2}{2}\mid \cdot 2$  

$\frac{a^2}{2}=h^2$  

$\frac{a}{\sqrt{2}}=h$  

$h=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta WFS:

$\cos \beta =\frac{\frac{1}{2}a}{h}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$\beta ={45}^{\circ }$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.\beta ={45}^{\circ }.$  

---

---

b)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąty dwuścienne między ścianami bocznymi a podstawą mają taką samą miarę.

---

Obliczamy miarę kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi.

$\gamma ={180}^{\circ }-2\cdot \beta$  

$\gamma ={180}^{\circ }-2\cdot {45}^{\circ }$  

$\gamma ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }$  

$\gamma ={90}^{\circ }$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.\gamma ={90}^{\circ }.$