a)

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

---

Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu:

$d=a\sqrt{2}$  

$\frac{1}{2}d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

---

Wyznaczamy długość  $x.$  

$x=\frac{2}{3}d-\frac{1}{2}d=\frac{4}{6}d-\frac{3}{6}d=\frac{1}{6}d=\frac{a\sqrt{2}}{6}$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta DWS otrzymujemy:

${\left(\frac{1}{2}d\right)}^2+h^2=a^2$  

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+h^2=a^2$  

$\frac{2a^2}{4}+h^2=a^2$  

$\frac{a^2}{2}+h^2=a^2\mid -\frac{a^2}{2}$  

$h^2=\frac{a^2}{2}$  

$h=\frac{a}{\sqrt{2}}$  

$h=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta WPS otrzymujemy:

$x^2+H^2=h^2$  

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)}^2+H^2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$  

$\frac{a^2}{18}+H^2=\frac{a^2}{2}\mid -\frac{a^2}{18}$  

$H^2=\frac{9a^2}{18}-\frac{a^2}{18}$  

$H^2=\frac{8a^2}{18}$  

$H^2=\frac{4a^2}{9}$  

$H=\frac{2a}{3}$  

---

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{2a}{3}=\frac{2a^3}{9}$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.V=\frac{2a^3}{9}.$  

---

---

b)

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta APS otrzymujemy:

${\left|AS\right|}^2={\left(\frac{2}{3}d\right)}^2+H^2$  

${\left|AS\right|}^2={\left(\frac{2\sqrt{2}a}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2$  

${\left|AS\right|}^2=\frac{8a^2}{9}+\frac{4a^2}{9}$  

${\left|AS\right|}^2=\frac{12a^2}{9}$  

$\left|AS\right|=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta CPS otrzymujemy:

${\left|CS\right|}^2={\left(\frac{1}{3}d\right)}^2+H^2$  

${\left|CS\right|}^2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2$  

${\left|CS\right|}^2=\frac{2a^2}{9}+\frac{4a^2}{9}$  

${\left|CS\right|}^2=\frac{6a^2}{9}$  

$\left|CS\right|=\frac{\sqrt{6}a}{3}$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.\left|AS\right|=\frac{2\sqrt{3}a}{3},\left|CS\right|=\frac{\sqrt{6}a}{3}.$  

---

---

c)

Zauważmy, że:

$d^2={\left|AS\right|}^2+{\left|CS\right|}^2$  

$2a^2=\frac{12a^2}{9}+\frac{6a^2}{9}$  

$2a^2=\frac{18a^2}{9}$  

---

Oznacza to, że trójkąt ACS jest prostokątny, a zatem

$\alpha ={90}^{\circ }$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.\left|\sphericalangle ASC\right|={90}^{\circ }.$