Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Mamy dane:

$b=8\text{cm}$  

---

Ściany boczne ostrosłupa są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi o ramieniu b. W takim razie podstawy tych trójkątów mają długość przekątnej kwadratu o boku b:

$a=b\sqrt{2}=8\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

---

Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego dzieli wysokości podstawy w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Stąd:

$\left|AS\right|=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{6}}{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta ASW:

${\left|AS\right|}^2+H^2=b^2$  

${\left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)}^2+H^2=8^2$  

$\frac{64\cdot 6}{9}+H^2=64$  

$\frac{64\cdot 2}{3}+H^2=64$  

$\frac{128}{3}+H^2=64$  

$H^2=\frac{192}{3}-\frac{128}{3}$  

$H^2=\frac{64}{3}$  

$H=\frac{8}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(8\sqrt{2}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{64\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}{b}^2=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 8^2=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 64=3\cdot 32=96\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b=32\sqrt{3}+96=32\left(3+\sqrt{3}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Obliczamy objętość ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 32\sqrt{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{256}{3}\left[{\text{cm}}^3\right]$  

---

$\text{Odp.}{P}_c=32\left(3+\sqrt{3}\right){\text{cm}}^2,V=\frac{256}{3}{\text{cm}}^3.$