Treść:

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny , w którym |ACB|=90^o (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4 : 3. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa 5. Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Wiemy, że trójkąt ABC jest prostokątny, zatem jeśli opiszemy okrąg na tym trójkącie to odcinki AS, SB i SC będą równe długości promienia tego okręgu, zatem:

$\left|AS\right|=\left|SB\right|=\left|SC\right|=5$  

 

Obliczmy długość odcinka AB:

$\left|AB\right|=\left|AS\right|+\left|SB\right|=5+5=10$  

 

Wiemy również, że:

$\frac{\left|AC\right|}{\left|BC\right|}=\frac{4}{3}$  

zatem:

$\left|AC\right|=\frac{4}{3}\left|BC\right|$  

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość krawędzi BC:

${\left(\left|AC\right|\right)}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

${\left(\frac{4}{3}\left|BC\right|\right)}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

${\left(\frac{4}{3}\left|BC\right|\right)}^2+{\left|BC\right|}^2={10}^2$  

$\frac{16}{9}{\left|BC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2=100$  

$\frac{25}{9}{\left|BC\right|}^2=100$  

${\left|BC\right|}^2=100\cdot \frac{9}{25}$  

${\left|BC\right|}^2=36$  

$\left|BC\right|=6$  

 

Obliczmy długość krawędzi AC:

$\left|AC\right|=\frac{4}{3}\cdot 6=4\cdot 2=8$  

 

Obliczmy długość wysokości (czyli np. odcinka BE) tego graniastosłupa:

$P_{BEFC}=\left|BC\right|\cdot \left|BE\right|$  

$48=6\cdot \left|BE\right|$  

$\left|BE\right|=8$  

 

Obliczmy objętość tego graniastosłupa:

$V=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BC\right|\cdot \left|BE\right|$  

$V=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot 8=4\cdot 6\cdot 8=192$  

 

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 192 j³.