a)
Wzory, z których korzystamy:
(1) cos(90∘−α)=sinα
(2) sin2α+cos2α=1
Mamy więc:
cos248∘+cos242∘=(cos48∘)2+cos242∘=(cos(90∘−42∘))2+cos242∘=(1)
=(sin42∘)2+cos242∘=sin242∘+cos242∘=(2)1
b)
Wzory, z których korzystamy:
(1) ctg(90∘−α)=tg α
(2) tg α⋅ctg α=1, α=k⋅90∘, k∈Z
Mamy więc:
ctg 33∘⋅ctg 57∘=ctg (90∘−57∘)⋅ctg 57∘=(1)tg 57∘⋅ctg 57∘=(2)1
c)
Wzory, z których korzystamy:
(1) cos(90−α)=sinα
Mamy więc:
cos48∘sin42∘=cos(90∘−42∘)sin42∘=(1)sin42∘sin42∘=1
d)
Wzory, z których korzystamy:
(1) ctg(90∘−α)=tg α
(2) tg α⋅ctg α=1, α=k⋅90∘, k∈Z
Mamy więc:
ctg 41∘⋅ctg 43∘⋅ctg 45∘⋅ctg 47∘⋅ctg 49∘=
=ctg 41∘⋅ctg 49∘⋅ctg 43∘⋅ctg 47∘⋅ctg 45∘=
=ctg (90∘−49∘)⋅ctg 49∘⋅ctg (90∘−47∘)⋅ctg 47∘⋅ctg 45∘=(1)
=tg 49∘⋅ctg 49∘⋅tg 47∘⋅ctg 47∘⋅ctg 45∘=(2)1⋅1⋅1=1
e)
Wzory, z których korzystamy:
(1) sin(90−α)=cosα
(2) sin2α+cos2α=1
Mamy więc:
(sin54∘+sin36∘)2−2cos36∘⋅cos54∘+2sin30∘=
=(sin54∘)2+2sin54∘⋅sin36∘+(sin36∘)2−2cos36∘⋅cos54∘+2sin30∘=
=sin254∘+(sin36∘)2+2sin54∘⋅sin36∘−2cos36∘⋅cos54∘+2sin30∘=
=sin254∘+(sin(90∘−54∘))2+2sin(90∘−36∘)⋅sin(90∘−54∘)+
−2cos36∘⋅cos54∘+2sin30∘=(1)
=sin254∘+(cos54∘)2+2cos36∘⋅cos54∘−2cos54∘⋅sin36∘+2sin30∘=
=sin254∘+cos254∘+2cos36∘⋅cos54∘−2cos36∘⋅cos54∘+2sin30∘=(2)
=1+2sin30∘=1+2⋅21=1+1=2
Uwaga! W książce podano błędną odpowiedź do przykładu d).
