a)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\cos \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{8}{17}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{64}{289}+{\cos }^2\alpha =\frac{289}{289}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{225}{289}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{15}{17}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$ , więc  $\cos \alpha >0$ , zatem

$\cos \alpha =\frac{15}{17}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ . 

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{8}$  

---

b)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\sin \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{144}{169}=\frac{169}{169}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{25}{169}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{5}{13}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left({90}^{\circ };{180}^{\circ }\right)$ , więc  $\sin \alpha >0$ , zatem

$\sin \alpha =\frac{5}{13}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ . 

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}$  

---

c)

Mamy  $\text{tg}\alpha =-\frac{21}{20}$ . Możemy więc zapisać

$-\frac{21}{20}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$  

Stąd otrzymujemy, że

$\sin \alpha =-\frac{21}{20}\cos \alpha .$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\cos \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(-\frac{21}{20}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{441}{400}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{841}{400}{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{400}{841}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{20}{29}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left({90}^{\circ };{180}^{\circ }\right)$ , więc  $\cos \alpha <0$ , zatem

$\cos \alpha =-\frac{20}{29}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ .

$\sin \alpha =-\frac{21}{20}\cdot \left(-\frac{20}{29}\right)=\frac{21}{29}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{-\frac{21}{20}}=-\frac{20}{21}$  

---

d)

Mamy  $\text{tg}\alpha =\frac{1}{2}$ . Możemy więc zapisać

$\frac{1}{2}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$  

Stąd otrzymujemy, że

$\sin \alpha =\frac{1}{2}\cos \alpha .$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\cos \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{1}{2}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{1}{4}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{5}{4}{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{4}{5}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{2}{\sqrt{5}}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left(0^{\circ };{90}^{\circ }\right)$ , więc  $\cos \alpha >0$ , zatem

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ .

$\sin \alpha =\frac{1}{2}\cos \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$  

---

e)

Mamy  $\text{tg}\alpha =\frac{7}{24}$ . Możemy więc zapisać

$\frac{7}{24}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$  

Stąd otrzymujemy, że

$\sin \alpha =\frac{7}{24}\cos \alpha .$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\cos \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{7}{24}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{49}{576}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{625}{576}{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{576}{625}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{24}{25}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left({180}^{\circ };{270}^{\circ }\right)$ , więc  $\cos \alpha <0$ , zatem

$\cos \alpha =-\frac{24}{25}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ .

$\sin \alpha =\frac{7}{24}\cos \alpha =\frac{7}{24}\cdot \left(-\frac{24}{25}\right)=-\frac{7}{25}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{7}{24}}=\frac{24}{7}$  

---

f)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\sin \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{16}{25}=\frac{25}{25}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{9}{25}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{3}{5}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left({270}^{\circ };{360}^{\circ }\right)$ , więc  $\sin \alpha <0$ , zatem

$\sin \alpha =-\frac{3}{5}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ . 

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}$  

---

g)

Mamy  $\text{tg}\alpha =-\frac{5}{13}$ . Możemy więc zapisać

$-\frac{5}{13}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$  

Stąd otrzymujemy, że

$\sin \alpha =-\frac{5}{13}\cos \alpha .$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\cos \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(-\frac{5}{13}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{25}{169}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{194}{169}{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{169}{194}$  

$\left|\cos \alpha \right|=\frac{13}{\sqrt{194}}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left({270}^{\circ };{360}^{\circ }\right)$ , więc  $\cos \alpha >0$ , zatem

$\cos \alpha =\frac{13}{\sqrt{194}}=\frac{13\sqrt{194}}{194}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ .

$\sin \alpha =-\frac{5}{13}\cos \alpha =-\frac{5}{13}\cdot \frac{13\sqrt{194}}{194}=-\frac{5\sqrt{194}}{194}$  

$\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }=\frac{1}{-\frac{5}{13}}=-\frac{13}{5}$  

---

h)

Mamy  $\text{ctg}\alpha =\frac{7}{24}$ . Możemy więc zapisać

$\frac{7}{24}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.$  

Stąd otrzymujemy, że

$\cos \alpha =\frac{7}{24}\sin \alpha .$  

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i wyznaczamy  $\sin \alpha$ .

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{7}{24}\sin \alpha \right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{49}{576}{\sin }^2\alpha =1$  

$\frac{625}{576}{\sin }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{576}{625}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{24}{25}$  

Ponieważ  $\alpha \in \left({180}^{\circ };{270}^{\circ }\right)$ , więc  $\sin \alpha <0$ , zatem

$\sin \alpha =-\frac{24}{25}.$  

Wyznaczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta  $\alpha$ .

$\cos \alpha =\frac{7}{24}\sin \alpha =\frac{7}{24}\cdot \left(-\frac{24}{25}\right)=-\frac{7}{25}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{ctg}\alpha }=\frac{1}{\frac{7}{24}}=-\frac{24}{7}$