a)

Spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C oznaczmy przez D.

Wyznaczamy długość boku AD.

$\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{8}{AD}$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8}{AD}$  

$AD=8\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość boku DB.

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{8}{DB}$  

$\sqrt{3}=\frac{8}{DB}$  

$DB=\frac{8\sqrt{3}}{3}$  

Wyznaczamy długość boku BC.

$\sin {60}^{\circ }=\frac{8}{BC}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{BC}$  

$BC=\frac{16\sqrt{3}}{3}$  

Wyznaczamy długość boku AC.

$\sin {30}^{\circ }=\frac{8}{AC}$  

$\frac{1}{2}=\frac{8}{AC}$  

$AC=16$  

Obliczamy obwód trójkąta ABC.

$AD+DB+BC+CA=8\sqrt{3}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{3}+16=16+16\sqrt{3}$  

---

b)

Spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C oznaczmy przez D.

Wyznaczamy długość boku AD.

$\text{tg}{45}^{\circ }=\frac{6}{AD}$  

$1=\frac{6}{AD}$  

$AD=6$  

Wyznaczamy długość boku DB.

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{6}{DB}$  

$\sqrt{3}=\frac{6}{DB}$  

$DB=2\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość boku BC.

$\sin {60}^{\circ }=\frac{6}{BC}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{BC}$  

$BC=4\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość boku AC.

$\sin {45}^{\circ }=\frac{6}{AC}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6}{AC}$  

$AC=6\sqrt{2}$  

Obliczamy obwód trójkąta ABC.

$AD+DB+BC+CA=6+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+6\sqrt{2}=6+6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$  

---

c)

Spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka C oznaczmy przez D.

Wyznaczamy długość odcinka CD.

$\sin {60}^{\circ }=\frac{CD}{12\sqrt{3}}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CD}{12\sqrt{3}}$  

$CD=18$  

Wyznaczamy długość boku AD.

$\text{tg}{45}^{\circ }=\frac{18}{AD}$  

$1=\frac{18}{AD}$  

$AD=18$  

Wyznaczamy długość boku DB.

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{18}{DB}$  

$\sqrt{3}=\frac{18}{DB}$  

$DB=6\sqrt{3}$  

Wyznaczamy długość boku AC.

$\sin {45}^{\circ }=\frac{18}{AC}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{18}{AC}$  

$AC=18\sqrt{2}$  

Obliczamy obwód trójkąta ABC.

$AD+DB+BC+CA=18+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+18\sqrt{2}=18+18\sqrt{2}+18\sqrt{3}$