$a\text{)}\sin 5x=1$  

Wiemy, że:

$\sin \frac{\pi }{2}=1$  

Ponadto funkcja  $y=\sin x$  jest okresowa, zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci:

$5x=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5},k\in \mathbb{C}$  

---

$b\text{)}\mathrm{tg}\left(3x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$  

Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$  

Ponadto funkcja  $y=\mathrm{tg}x$  jest okresowa, zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci:

$3x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$3x=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{C}$  

$x=\frac{2\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{C}$  

---

$c\text{)}\mathrm{tg}3x=1$  

Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$  

Ponadto funkcja  $y=\mathrm{tg}x$  jest okresowa, zatem rozwiązania tego równania są postaci:

$3x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{C}$  

Rozwiązanie to ma zawierać się w zbiorze:

$\left(0,\pi \right)$  

Zatem:

$x=\frac{\pi }{12}\text{lub}x=\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{3}\text{lub}x=\frac{\pi }{12}+\frac{2\pi }{3}$  

Więc rozwiązania tego równania to:

$x=\frac{\pi }{12}\text{lub}x=\frac{5\pi }{12}\text{lub}x=\frac{9\pi }{12}$  

---

$d\text{)}\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=1$  

Wiemy, że:

$\cos 0=1$  

Ponadto funkcja  $y=\cos x$  jest okresowa, zatem rozwiązania tego równania są postaci:

$2x+\frac{\pi }{3}=2k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$2x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

$x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{C}$  

Rozwiązanie to ma zawierać się w zbiorze:

$⟨0,2\pi )$  

Zatem:

$x=-\frac{\pi }{6}+\pi \text{lub}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi$  

Więc rozwiązania tego równania to:

$x=\frac{5\pi }{6}\text{lub}x=\frac{11\pi }{6}$