Dziedziną funkcji f jest zbiór:

$D_f=\mathbb{R}-\left\{-2,5\right\}$  

 

Wyznaczmy dziedzinę funkcji g:

$x^2-3x-10\ne 0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=9+40=49,\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1\ne \frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2\ne \frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zatem:

$D_g=\mathbb{R}-\left\{-2,5\right\}$  

 

Wiemy, że dla  $\mathbb{R}-\left\{-2,5\right\}$  zachodzi równość:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$  

$\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-5}=\frac{7\left(x-3\right)}{x^2-3x-10}$  

$\frac{a\left(x-5\right)+b\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}=\frac{7\left(x-3\right)}{x^2-3x-10}$  

$\frac{ax-5a+bx+2b}{x^2-5x+2x-10}=\frac{7x-21}{x^2-3x-10}$  

$\frac{\left(a+b\right)x+2b-5a}{x^2-3x-10}=\frac{7x-21}{x^2-3x-10}$  

Zatem:

$\left(a+b\right)x+2b-5a=7x-21$  

 

Wyznaczmy wartości  $a,b:$  

$\{\begin{array}{l}a+b=7\\ 2b-5a=-21\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ 2b-5\cdot \left(7-b\right)=-21\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ 2b-35+5b=-21\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ 7b=14\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ b=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=7-2\\ b=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=5\\ b=2\end{array}$

 

Odp.: Warunki zadania są spełnione dla a=5 i b=2.