Korzystamy z następującej definicji:

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach. 

Dane są wielomiany:

$a\text{)}P\left(x\right)=2x^3+a{x}^2+5x+b+c$  

$Q\left(x\right)=\left(b-3\right)x^3+a{x}^2+\left(2a+c\right)x+4$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}2=b-3\\ 5=2a+c\\ b+c=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 5=2a+c\\ 5+c=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 5=2a+c\\ c=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 5=2a-1\\ c=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ 6=2a\\ c=-1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=5\\ a=3\\ c=-1\end{array}$  

---

$b\text{)}P\left(x\right)=a{x}^3-4x^2+5x-2$  

$Q\left(x\right)={\left(x-b\right)}^2\left(x-c\right)=\left(x^2-2bx+b^2\right)\left(x-c\right)=$  

$=x^3-c{x}^2-2b{x}^2+2bcx+b^{2}x-b^{2}c=$  

$=x^3-\left(c+2b\right)x^2+\left(2bc+b^2\right)x-b^{2}c$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}a=1\\ -4=-\left(c+2b\right)\\ 5=2bc+b^2\\ -2=-b^{2}c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ 4=c+2b\\ 5=2bc+b^2\\ 2=b^{2}c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ c=4-2b\\ 5=2b\left(4-2b\right)+b^2\\ 2=b^{2}c\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=1\\ c=4-2b\\ 5=8b-4b^2+b^2\\ 2=b^{2}c\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$-3b^2+8b-5=0$  

$\Delta =8^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-5\right)=64-60=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$b_1=\frac{-8-2}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-10}{-6}=\frac{5}{3}$  

$b_2=\frac{-8+2}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-6}{-6}=1$  

Więc:

$c_1=4-2\cdot \frac{5}{3}=4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}$  

$c_2=4-2\cdot 1=4-2=2$  

Zauważmy, że równanie:

$2=b^{2}c$  

nie jest spełnione przez parę  $b=\frac{5}{3},c=\frac{2}{3}$  

Czyli jedyne rozwiązanie to:

$a=1,b=1,c=2$