Wiemy, że liczby: a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zaś liczby: b, c, d są kolejnymi wyrazami niemonotonicznego ciągu geometrycznego.

Ponadto:

$\{\begin{array}{l}a+b+c=12\\ b+c+d=19\end{array}$  

Wyznaczmy wartości liczb a, b, c, d:

$\{\begin{array}{l}a+b+c=12\\ b+c+d=19\\ b=\frac{a+c}{2}\\ c^2=bd\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+c=12\\ b+c+d=19\\ 2b=a+c\\ c^2=bd\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2b+b=12\\ b+c+d=19\\ 2b=a+c\\ c^2=bd\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3b=12\\ b+c+d=19\\ 2b=a+c\\ c^2=bd\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\\ 4+c+d=19\\ 2\cdot 4=a+c\\ c^2=4d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\\ c+d=15\\ 8=a+c\\ c^2=4d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\\ c=15-d\\ 8=a+15-d\\ {\left(15-d\right)}^2=4d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\\ c=15-d\\ a=d-7\\ 225-30d+d^2=4d\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}b=4\\ c=15-d\\ a=d-7\\ 225-34d+d^2=0\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$d^2-34d+225=0$  

$\Delta ={\left(-34\right)}^2-4\cdot 1\cdot 225=1156-4\cdot 225=1156-900=256,\sqrt{\Delta }=16$  

$d_1=\frac{34-16}{2}=\frac{18}{2}=9$  

$d_2=\frac{34+16}{2}=\frac{50}{2}=25$  

Zatem:

$a_1=9-7=2$    

$a_2=25-7=18$  

Więc:

$c_1=15-9=6$  

$c_2=15-25=-10$  

Otrzymaliśmy następujące liczby:

$1\text{)}a=2,b=4,c=6,d=9$  

$2\text{)}a=18,b=4,c=-10,d=25$  

Wiemy, że ciąg b, c, d jest niemonotoniczny, zatem warunki zadania spełniają liczby:

$a=18,b=4,c=-10,d=25$