Dane są dwa ciągi rosnące (a_n)-ciąg arytmetyczny i (b_n)-ciąg geometryczny, wiemy, że:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1=2\\ a_3=b_3\\ a_{11}=b_5\end{array}$  

Stąd:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1=2\\ a_1+2r=b_1\cdot q^2\\ a_1+10r=b_1\cdot q^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1=2\\ 2+2r=2\cdot q^2\\ 2+10r=2\cdot q^4\end{array}$  

Ciąg (a_n) jest rosnący, zatem r>0 oraz ciąg (b_n) jest rosnący, więc q>1.

Aby obliczyć różnicę ciągu (a_n) i iloraz ciągu (b_n) wystarczy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{array}{l}2+2r=2q^2\\ 2+10r=2\cdot q^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\cdot \left(1+r\right)=2q^2\\ 2\cdot \left(1+5r\right)=2\cdot q^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1+r=q^2\\ 1+5r=q^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=q^2-1\\ 1+5\cdot \left(q^2-1\right)=q^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=q^2-1\\ 1+5q^2-5=q^4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=q^2-1\\ 5q^2-4=q^4\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

$5q^2-4=q^4$  

$q^4-5q^2+4=0$  

Stosujemy podstawienie:

$t=q^2,t>1$  

Otrzymujemy równanie:

$t^2-5t+4=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$t_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$t_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4>1$  

Czyli:

$q^2=4$  

Zatem iloraz ciągu (b_n) wynosi:

$q=2$  

(ponieważ q>1)

Obliczmy wartość różnicy ciągu (a_n):

$r=2^2-1=4-1=3$  

 

Odp.: Różnica ciągu (a_n) wynosi 3, a iloraz ciągu (b_n) wynosi 2.