$a\text{)}1;0,5;0,25;0,125,\dots$  

Łatwo możemy zauważyć, że podany ciąg jest ciągiem geometrycznym, takim, że:

$a_1=1\wedge q=\frac{1}{2}$  

Zatem spełniony jest warunek:

$\left|q\right|<1$  

Obliczmy sumę wszystkich wyrazów tego ciągu:

$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1\cdot 2=2$  

---

$b\text{)}81;-54;36;-24,\dots$  

Łatwo możemy zauważyć, że podany ciąg jest ciągiem geometrycznym, takim, że:

$a_1=81\wedge q=-\frac{2}{3}$  

Zatem spełniony jest warunek:

$\left|q\right|<1$  

Obliczmy sumę wszystkich wyrazów tego ciągu:

$S=\frac{81}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{81}{\frac{5}{3}}=81\cdot \frac{3}{5}=\frac{243}{5}=48,6$  

---

$c\text{)}4;-6;9;-13,5,\dots$  

Łatwo możemy zauważyć, że podany ciąg jest ciągiem geometrycznym, takim, że:

$a_1=4\wedge q=-\frac{3}{2}$  

Zatem nie jest spełniony warunek:

$\left|q\right|<1$  

Czyli nie istnieje suma wszystkich wyrazów tego ciągu.

---

$d\text{)}0,9;0,09;0,009;0,0009,\dots$  

Łatwo możemy zauważyć, że podany ciąg jest ciągiem geometrycznym, takim, że:

$a_1=0,9\wedge q=0,1$  

Zatem spełniony jest warunek:

$\left|q\right|<1$  

Obliczmy sumę wszystkich wyrazów tego ciągu:

$S=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=\frac{9}{9}=1$