Wyznacz te wartości x, dla których...- Zadanie 11.31: Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Rozwiązanie

a) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = 8 \land q = \frac{1}{2} x$

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$\frac{1}{2} x < 1$

Czyli:

$\frac{1}{2} x < 1 \land \frac{1}{2} x > - 1$

$x < 2 \land x > - 2$

Zatem:

$x \in (- 2, 2)$

b) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = 8 x \land q = \frac{1}{2}$

Zauważmy, że dla:

$x = 0$

Podany szereg jest zbieżny.

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Więc:

$\frac{1}{2} < 1$

Zatem:

$x \in R$

c) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = 1 \land q = x^{2} + 5 x + 5$

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$x^{2} + 5 x + 5 < 1$

Czyli:

$x^{2} + 5 x + 5 < 1 \land x^{2} + 5 x + 5 > - 1$

$x^{2} + 5 x + 4 < 0 \land x^{2} + 5 x + 6 > 0$

Sprawdźmy czy trójmian x²+5x+4 ma pierwiastki:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9, Δ = 3$

$x_{1} = \frac{- 5 - 3}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$

$x_{2} = \frac{- 5 + 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Zatem nierówność:

$x^{2} + 5 x + 4 < 0$

jest spełniona dla

$x \in (- 4, - 1)$

Sprawdźmy czy trójmian x²+5x+6 ma pierwiastki:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1, Δ = 1$

$x_{1} = \frac{- 5 - 1}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{- 5 + 1}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

Zatem nierówność:

$x^{2} + 5 x + 6 > 0$

jest spełniona dla

$x \in (- \infty, - 3) \cup (- 2, + \infty)$

Zatem rozwiązaniem wspólnym tych dwóch nierówności jest zbiór:

$x \in (- 4, - 3) \cup (- 2, - 1)$

d) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = \frac{4}{x} \land q = \frac{1}{2 x}$

Założenie:

$x \neq = 0$

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$\frac{1}{2 x} < 1$

Czyli:

$\frac{1}{2 x} < 1 \land \frac{1}{2 x} > - 1$

$\frac{1}{2} x < x^{2} \land \frac{1}{2} x > - x^{2}$

$x^{2} - \frac{1}{2} x > 0 \land x^{2} + \frac{1}{2} x > 0$

$x (x - \frac{1}{2}) > 0 \land x (x + \frac{1}{2}) > 0$

Więc:

$(x \in (- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)) \cap (x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, + \infty))$

Zatem:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

e) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = x \land q = x - 3$

Zauważmy, że dla:

$x = 0$

Podany szereg jest zbieżny.

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$∣ x - 3 ∣ < 1$

Czyli:

$x - 3 < 1 \land x - 3 > - 1$

$x < 4 \land x > 2$

Zatem:

$x \in {0} \cup (2, 4)$

f) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = 2^{x} \land q = 2^{x}$

Zauważmy, że dla:

$x = 0$

Podany szereg jest zbieżny.

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$∣ 2^{x} ∣ < 1$

Czyli:

$2^{x} < 1 \land 2^{x} > - 1$

Łatwo możemy zauważyć, że druga z tych powyższych nierówności jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x.

Rozwiążmy nierówność:

$2^{x} < 1$

$2^{x} < 2^{0}$

$x < 0$

Zatem:

$x \in (- \infty, 0)$

g) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = 1 \land q = lo g x$

Założenie:

$x > 0$

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$∣ lo g x ∣ < 1$

Czyli:

$lo g x < 1 \land lo g x > - 1$

$lo g x < lo g 10 \land lo g x > - lo g 10$

$lo g x < lo g 10 \land lo g x > lo g 10^{- 1}$

$lo g x < lo g 10 \land lo g x > lo g 0, 1$

$x < 10 \land x > 0, 1$

Zatem:

$x \in (0, 1; 10)$

h) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = sin x \land q = sin x$

Zauważmy, że dla:

$x = 0$

Podany szereg jest zbieżny.

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$∣ sin x ∣ < 1$

Czyli:

$sin x < 1 \land sin x > - 1$

Wiemy, że:

$sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C \land sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C$

Więc:

$x \neq = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C \land x \neq = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C$

Stąd

$x \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in C$

Zatem:

$x \in R {\frac{π}{2} + k π, k \in C}$

i) Dana jest suma szeregu geometrycznego takiego, że:

$a_{1} = 1 \land q = 2 cos x$

Zauważmy, że dla:

$x = 0$

Podany szereg jest zbieżny.

Aby ten szereg był zbieżny musi być spełniony warunek:

$∣ q ∣ < 1$

Zatem:

$∣ 2 cos x ∣ < 1$

Czyli:

$2 cos x < 1 \land 2 cos x > - 1$

$cos x < \frac{1}{2} \land cos x > - \frac{1}{2}$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k π, k \in C \land cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2 π}{3} + k π, k \in C$

Więc podana nierówność:

$cos x < \frac{1}{2} \land cos x > - \frac{1}{2}$

jest spełniona dla:

$x \in (\frac{π}{3} + k π, \frac{2 π}{3} + k π), k \in C$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Premium

12:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.