Wiemy, że w pewnym rosnącym ciągu arytmetycznym zachodzi

$a_5=18$  

korzystając ze wzoru na n-ty wyraz tego ciągu dostajemy 

$a_1+4r=18\left(\text{*}\right)$

Wiemy, że wyrazy 

$a_1,a_3,a_{13}$

tworzą ciąg geometryczny. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego otrzymujemy 

$a_3^2=a_1\cdot a_{13}$

${\left(a_1+2r\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+12r\right)$   

$a_1^2+4a_{1}r+4r^2=a_1^2+12a_{1}r$   

$4a_{1}r+4r^2=12a_{1}r\mid :4r,r>0\text{(poniewaz˙ ciąg jest rosnący)}$

$a_1+r=3a_1$  

$r=2a_1$  

wstawiając powyższą zależność do wzoru (*) dostajemy

$a_1+4\cdot 2a_1=18$

$a_1+8a_1=18$

$9a_1=18$  

$a_1=2$

więc

$r=2a_1=2\cdot 2=4$

zatem wzór na n-ty wyraz tego ciągu jest postaci 

$a_n=2+\left(n-1\right)\cdot 4=2+4n-4=4n-2$