Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$\{\begin{array}{l}1=-5a+b\\ -3=3a+b\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

 

$\{\begin{array}{l}1=-5a+b\\ 3=-3a-b\end{array}$  

 

Dodajmy stronami oba równania: 

$1+3=-5a+b-3a-b$  

 

$4=-8a\mid :\left(-8\right)$  

 

$a=-\frac{1}{2}$  

 

Wyznaczmy równanie prostej CD - jest to prosta równoległa do prostej AB, która jednocześnie przechodzi przez punkt C.

$y=-\frac{1}{2}x+b$  

Podstawmy do równania współrzędne punktu C:

$1=-\frac{1}{2}\cdot 3+b$  

$1=-\frac{3}{2}+b$  

$\frac{5}{2}=b$  

 

$\underline{y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}$   

 

 

Punkt D leży w punkcie przecięcia powyższej prostej z prostą zawierającą przekątną BD. Możemy więc zapisać i rozwiązać układ równań:

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\ 3x+2y=3\end{array}$  

 

Dokonajmy podstawienia:

$3x+2y=3$  

$3x+2\cdot \left(-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\right)=3$  

$3x-x+5=3$   

$2x=-2\mid :2$  

$\underline{x=-1}$   

 

Wyznaczmy drugą współrzędną:

$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$    

 

A więc:

$\underline{D=\left(-1\text{,}3\right)}$  

 

Obliczmy długości boków trójkąta ABD i skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(-3-1\right)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}$   

 

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(3-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}$  

 

$\left|AD\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$  

 

Twierdzenie cosinusów (niech miara kąta BAD będzie równa  $\alpha$  ):

${\left(\sqrt{52}\right)}^2={\left(\sqrt{80}\right)}^2+{\left(\sqrt{20}\right)}^2-2\cdot \sqrt{80}\cdot \sqrt{20}\cdot \cos \alpha$  

 

$52=80+20-2\cdot \sqrt{1600}\cdot \cos \alpha$  

 

$52=100-2\cdot 40\cdot \cos \alpha$  

 

$-48=-80\cdot \cos \alpha \mid :\left(-80\right)$   

 

$\frac{48}{80}=\cos \alpha$  

 

$\cos \alpha =\frac{3}{5}$  

 

Wyznaczmy sinus tego kąta:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

 

${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\sin }^2\alpha =1$  

 

$\frac{9}{25}+{\sin }^2\alpha =1$  

 

${\sin }^2\alpha =\frac{16}{25}$  

 

$\underline{\sin \alpha =\frac{4}{5}}$    - rozważamy kąty w trójkącie, więc sinus nie może być liczbą ujemną (ponieważ w przedziale  $x\in \left(0,{180}^{\circ }\right)$   sinus przyjmuje tylko wartości dodatnie.)        

 

 

Skorzystajmy z twierdzenia sinusów i i wyznaczmy promień okręgu opisanego na trójkącie ABD:

$2R=\frac{\left|BD\right|}{\sin \alpha }$  

 

$2R=\frac{\sqrt{52}}{\frac{4}{5}}$  

 

$2R=\sqrt{52}\cdot \frac{5}{4}\mid :2$   

 

$R=2\sqrt{13}\cdot \frac{5}{8}$  

 

$\underline{R=\frac{5\sqrt{13}}{4}}$