a)

Niech  $a$   oznacza krawędź podstawy.

Zauważmy, że trójkąty PAO i POS są podobne (oba są trójkątami prostokątnymi, oraz miara kąta POA jest równa mierze kąta PSO).

Możemy więc zapisać:

$\frac{\left|PO\right|}{\left|AO\right|}=\frac{\left|PS\right|}{\left|SO\right|}$  

 

Odcinek AO jest połową podstawy, a więc jego długość to:

$\left|AO\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  

 

Długość odcinka PS możemy wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa:

${\left|PS\right|}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=x^2$  

$\left|PS\right|=\sqrt{x^2-3}$      

 

Odcinek SO jest wysokością, a więc:

$\left|SO\right|=x$  

 

A więc możemy zapisać równanie:  

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{x^2-3}}{x}$     

 

$\frac{2\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{x^2-3}}{x}$  

 

$2x\sqrt{3}=a\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2-3}\mid \cdot \sqrt{2}$  

 

$2x\sqrt{6}=2a\sqrt{x^2-3}\mid :2$  

 

$x\sqrt{6}=a\sqrt{x^2-3}\mid :\sqrt{x^2-3}$  

 

$\frac{x\sqrt{6}}{\sqrt{x^2-3}}=a$  

 

 

Obliczmy pole podstawy:

$P_P=a^2=\frac{6x^2}{x^2-3}$  

 

Objętość:

$V\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{6x^2}{x^2-3}\cdot x=\frac{2x^3}{x^2-3}$  

 

Wyznaczmy dziedzinę:

$\frac{2x^3}{x^2-3}>0$    

 

$\left(2x^3\right)\cdot \left(x^2-3\right)>0$  

 

Miejsca zerowe:

$x_1=0$  

$x_2=-\sqrt{3}$  

$x_3=\sqrt{3}$   

 

$x\in \left(\sqrt{3};\infty \right)$   

 

 

b)

Obliczmy pochodną funkcji objętości:        

$V{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x^3\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2-3\right)-\left(2x^3\right)\cdot \left(x^2-3\right){}^{\prime }}{{\left(x^2-3\right)}^2}=\frac{\left(6x^2\right)\cdot \left(x^2-3\right)-\left(2x^3\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-3\right)}^2}=\frac{6x^4-18x^2-4x^4}{{\left(x^2-3\right)}^2}=\frac{2x^4-18x^2}{{\left(x^2-3\right)}^2}$     

 

Miejsca zerowe pochodnej:

$2x^4-18x^2=0\mid :2$  

$x^4-9x^2=0\mid :2$  

$x^2\left(x^2-9\right)=0$  

$x^2\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$  

 

Szkic wykresu pochodnej:        

     

Pochodna w  $x=-3$   zmienia znak z dodatniego na ujemny - a więc funkcja w tym miejscu przyjmuje wartość największą. 

Pochodna w  $x=0$   nie  zmienia znaku, więc w tym miejscu funkcja nie posiada ekstremum.

Pochodna w  $x=3$    zmienia znak z ujemnego na dodatni - a więc funkcja w tym miejscu przyjmuje wartość najmniejszą. 

 

$V\left(3\right)=\frac{2\cdot 3^3}{3^2-3}=\frac{2\cdot 27}{9-3}=\frac{54}{6}=9$  

 

 

c)

$x>\sqrt{3}$      

 

 

$\underset{x\to {\sqrt{3}}^{+}}{\lim }\left(\frac{2x^3}{x^2-3}\right)=\underset{x\to {\sqrt{3}}^{+}}{\lim }\left(\frac{2\cdot 3\sqrt{3}}{3-3}\right)=\frac{6\sqrt{3}}{0}=\infty$    

 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{2x^2}{x^2-3}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{2x^2}{x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{2x}{1-\frac{3}{x^2}}\right)=\infty$  

 

Szkic wykresu: