$x^2+7x+c=0$  

 

Wiemy, że dane równanie posiada 2 różne rozwiązania, a więc jego wyróżnik jest liczbą dodatnią.

$\Delta =7^2-4\cdot 1\cdot c=49-4c$  

 

$49-4c>0$  

$4c-49<0$   

$c-\frac{49}{4}<0$  

$c<\frac{49}{4}$  

 

Zauważmy również, że musi zachodzić warunek:

$c\ne 0$  

 

Gdyby  $c=0$  , to równanie wyglądałoby jak poniżej:

$x^2+7x=0$  

$x\left(x+7\right)=0$   - jednym z rozwiązań tego równania jest  $x_1=0$  , a z treści zadania wynika, że równanie posiada 2 rozwiązania różne od 0.       

       

A więc:

$c\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(0;\frac{49}{4}\right)$    

 

 

$\left(\frac{10}{x_1}-x_2\right)\cdot \left(\frac{10}{x^2}-x_1\right)=5$  

 

$\frac{100}{x_1{x}_2}-10-10+x_1{x}_2=5$  

 

Skorzystajmy ze wzoru Viete'a na iloczyn rozwiązań równania kwadratowego:

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=c$    

 

$\frac{100}{c}-20+c=5$  

 

$\frac{100}{c}-25+c=0\mid \cdot c$  

 

$c^2-25c+100=0$  

 

${\Delta }_c={\left(-25\right)}^2-4\cdot 1\cdot 100=625-400=225$  

$\sqrt{\Delta }=15$  

 

$c_1=\frac{25+15}{2\cdot 1}=\frac{40}{2}=20$   - wynik nie mieści się w rozpatrywanym przedziale, więc go odrzucamy

 

$c_2=\frac{25-15}{2\cdot 1}=\frac{10}{2}=\underline{5}$