Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne...- Zadanie 31: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

$a > 0$

$h > 0$

Z treści zadania wiemy, że $a + h = 2$ , a więc:

$h = 2 - a$

$a \in (0, 2)$

$h \in (0, 2)$

Możemy zauważyć, że

$h = 2 r$

Wiemy, że okrąg został wpisany w trapez o dłuższej podstawie - zauważmy, że gdyby $a = h = 2 r$ , to dany czworokąt byłby kwadratem - a więc nie posiadałby dłuższej podstawy.

Wiemy, że $a$ jest dłuższą podstawą - na tej podstawie możemy stwierdzić, że:

$a > 2 r$

$a > h$

$a > 2 - a$

$2 a > 2$

$a > 1$

A więc:

$\underline{a \in (1; 2)}$

W czworokąt można wpisać okrąg, kiedy sumy długości dwóch naprzeciwległych boków są sobie równe.

W nasz trapez wpisano okrąg, a więc:

$c + c = a + b$

$2 c = a + b$

Zauważmy, że:

$x + b + x = a$

$b = a - 2 x$

Możemy więc zapisać:

$2 c = a + a - 2 x$

$2 c = 2 a - 2 x ∣ : 2$

$c = a - x$

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa (przypomnijmy, że $a + h = 2$ , czyli $h = 2 - a$ ):

$(a - x)^{2} = x^{2} + (2 - a)^{2}$

$a^{2} - 2 a x + x^{2} = x^{2} + 4 - 4 a + a^{2}$

$- 2 a x = 4 - 4 a ∣ : (- 2 a)$

$x = \frac{2 a - 2}{a}$

$c = a - x$

$c = a - \frac{2 a - 2}{a} = \frac{a ^{2}}{a} - \frac{2 a - 2}{a} = \frac{a ^{2} - 2 a + 2}{a}$

Obwód trapezu jest więc równy:

$L (a) = = c + c a + b + c + c = c + c + c + c = 4 c = \frac{4 a ^{2} - 8 a + 8}{a}$

Wyznaczmy pochodną funkcji $L (a)$ :

$L^{'} (a) = \frac{( 4 a ^{2} - 8 a + 8 ) ^{'} \cdot a - ( 4 a ^{2} - 8 a + 8 ) \cdot a ^{'}}{a ^{2}} = \frac{( 8 a - 8 ) \cdot a - ( 4 a ^{2} - 8 a + 8 ) \cdot 1}{a ^{2}} =$