$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+1}$  

$x\in \mathbb{R}$  

$P=\left(1,0\right)$  

 

$x_0=1$  

 

$y=ax+b$   - równanie stycznej 

Współczynnik kierunkowy jest równy:

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$  

 

Obliczmy pochodną funkcji  $f\left(x\right)$  :

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+1\right)-\left(x-1\right)\cdot \left(x^2+1\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{1\cdot \left(x^2+1\right)-\left(x-1\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=$  

 

$=\frac{x^2+1-2x^2+2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-x^2+2x+1}{{\left(x^2+1\right)}^2}$  

 

 

$a=f{}^{\prime }\left(1\right)=\frac{-1^2+2\cdot 1+1}{{\left(1^2+1\right)}^2}=\frac{-1+2+1}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

 

$y=\frac{1}{2}x+b$  

 

Podstawmy współrzędne punktu P i wyznaczmy wartość parametru  $b$  :

$0=\frac{1}{2}+b$  

$b=-\frac{1}{2}$  

 

$\underline{\mathbf{y}=\frac{1}{2}\mathbf{x}-\frac{1}{2}}$    - równanie stycznej.