Zakładamy, że liczba

$k^2-15kp+p^2$

jest podzielna przez 13,

chcemy sprawdzić czy liczba

$k^2-p^2$

również będzie podzielna przez 13. 

 

Zauważmy, że wyrażenie

$k^2-15kp+p^2$

możemy przekształcić do postaci

$k^2-15kp+p^2=k^2-2kp-13kp+p^2=k^2-2kp+p^2-13kp={\left(k-p\right)}^2-13kp$  

Z założenia wiemy, że jest to liczba podzielna przez 13, zatem skoro

$13kp$

jest podzielne przez 13, to również

${\left(k-p\right)}^2=\left(k-p\right)\left(k-p\right)$

musi być podzielne przez 13, a ponieważ 13 jest liczbą pierwszą to oznacza, że również liczba

$k-p$  

będzie podzielna przez 13. 

 

Rozpiszmy wyrażenie

$k^2-p^2$

ze wzoru na różnicę kwadratów, dostaniemy

$k^2-p^2=\left(k-p\right)\left(k+p\right)$

skoro liczba 

$k-p$

jest podzielna przez 13, to powyższy iloczyn również jest podzielny przez 13.

 

c.n.d.