Do przekształcenia wyrażenia z licznika skorzystajmy ze wzoru na sumę n-tych potęg (dla n-nieparzystych):

$a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\dots +b^{n-1}\right)$   

dostajemy:

  $7^5+2^5=\left(7+2\right)\left(\underset{l}{\underbrace{7^4-7^3\cdot 2+7^2\cdot 2^2-7\cdot 2^3+2^4}}\right)=9\cdot l$   , gdzie  $l\in \mathbb{Z}$    

 

Do przekształcenia wyrażenia z mianownika skorzystajmy ze wzoru na różnicę n-tych potęg:

$a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\dots +a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right)$  

zatem:

${11}^4-2^4=\left(11-2\right)\left(\underset{k}{\underbrace{{11}^3+{11}^2\cdot 2+11\cdot 2^2+2^3}}\right)=9\cdot k$  , gdzie  $k\in \mathbb{Z}$  

 

czyli wyjściowy ułamek możemy zapisać jako:

$\frac{9\cdot l}{9\cdot 5}$

licznik i mianownik można skrócić przez 9. 

 

Odp. D