Zapiszmy liczby x i y w prostszej postaci.

Z określenia logarytmu mamy:

$x={\log }_{125}\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\iff {125}^x=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

Przekształcając i zapisując wyrażenie w postaci potęgi liczby 5, otrzymujemy:

${\left(5^3\right)}^x=\frac{5^{\frac{1}{2}}}{5}$  

$5^{3x}=5^{\frac{1}{2}-1}$

$5^{3x}=5^{-\frac{1}{2}}$

Z monotoniczności funkcji wykładniczej i faktu, że jest różnowartościowa dostajemy:

$3x=-\frac{1}{2}\mid :3$  

$x=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$

 

Analogicznie postępujemy z liczbą y. 

$y=1-{\log }_3\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$  

Zauważmy,  że 

${\log }_3\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)=c\iff 3^c=\frac{\sqrt{3}}{9}$  

Wtedy:

$3^c=\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^2}$  

$3^c=3^{\frac{1}{2}-2}$

$3^c=3^{-\frac{3}{2}}$

 Z monotoniczności funkcji wykładniczej i faktu, że jest różnowartościowa dostajemy:

$c=-\frac{3}{2}$  

czyli

$y=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$  

 

Obliczmy teraz wartość wyrażenia:

$\frac{1-x}{y}=\frac{1-\left(-\frac{1}{6}\right)}{-\frac{1}{2}}=\frac{1+\frac{1}{6}}{-\frac{1}{2}}=\frac{7}{{\cancel{6}}_3}\cdot \left(-{\cancel{2}}^1\right)=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}=-2,\left(3\right)$

 

Odp. 333