Dane jest równanie

$\left|13-7x\right|=2k+1$

aby opuścić znak wartości bezwzględnej rozważmy przypadki 

1)  $x\le \frac{13}{7}$

2)  $x>\frac{13}{7}$

Ad.1) 

$x\le \frac{13}{7}$

wtedy

$13-7x\ge 0$

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostaniemy

$13-7x=2k+1\mid -13$

$-7x=2k-12\mid :\left(-7\right)$

$x=\frac{2k-12}{-7}$

Ad.2)

$x>\frac{13}{7}$

wtedy

$13-7x<0$

czyli po opuszczeniu znaku wartości bezwzględnej dostaniemy

$-\left(13-7x\right)=2k+1$

$-13+7x=2k+1\mid +13$

$7x=2k+14\mid :7$

$x=\frac{2k+14}{7}$

  

Następnie, jeżeli nierówność ma mieć tylko jedno rozwiązanie to możliwe są przypadki

a)

  $\frac{2k-12}{-7}\le \frac{13}{7}$  

i

  $\frac{2k+14}{7}\le \frac{13}{7}$

wtedy 

$x=\frac{2k-12}{-7}$   

jest jedynym rozwiązaniem równania

rozwiążmy 

$\frac{2k-12}{-7}\le \frac{13}{7}\mid \cdot 7$

$-\left(2k-12\right)\le 13$

$-2k+12\le 13\mid -12$

$-2k\le 1\mid :\left(-2\right)$

$k\ge -\frac{1}{2}$   

rozwiążmy również

$\frac{2k+14}{7}\le \frac{13}{7}\mid \cdot 7$

$2k+14\le 13\mid -14$

$2k\le -1\mid :\left(2\right)$

$k\le -\frac{1}{2}$

zatem dla 

$k=-\frac{1}{2}$  

jedynym rozwiązaniem równania jest

$x=\frac{2k-12}{-7}=\frac{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-12}{-7}=\frac{13}{7}$  

 

b)

  $\frac{2k-12}{-7}>\frac{13}{7}$  

i

   $\frac{2k+14}{7}>\frac{13}{7}$

wtedy

$x=\frac{2k+14}{7}$  

jest jedynym rozwiązaniem równania

rozwiążmy

$\frac{2k-12}{-7}>\frac{13}{7}\mid \cdot 7$

$-\left(2k-12\right)>13$

$-2k+12>13\mid -12$

$-2k>1\mid :\left(-2\right)$

$k<-\frac{1}{2}$

rozwiążmy również

$\frac{2k+14}{7}>\frac{13}{7}\mid \cdot 7$

$2k+14>13\mid -14$

$2k>-1\mid :2$

$k>-\frac{1}{2}$     

czyli w tym wypadku nie ma rozwiązania

 

zatem, dla

$k=-\frac{1}{2}$  

równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.