$x$   - długość jednego boku

$7-x$   - długość drugiego boku

 

Chcemy, aby pole tego prostokąta było mniejsze niż 10 cm², ale większe niż 6 cm²

A więc muszą być spełnione dwie nierówności:

$x\left(7-x\right)>6$   

$x\left(7-x\right)<10$      

 

 

Rozwiążmy pierwszą nierówność:

$x\left(7-x\right)>6$   

$7x-x^2>6$  

$-x^2+7x-6>0$  

 

Miejsca zerowe:

$-x^2+7x-6=0$  

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-6\right)=49-24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

 

$x_1=\frac{-7-5}{2\cdot \left(-1\right)}=-\frac{12}{-2}=6$  

 

$x_2=\frac{-7+5}{2\cdot \left(-1\right)}=-\frac{2}{-2}=1$  

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=-x^2+7x-6$  

       

 

 

$x\in \left(1,6\right)$    - dla takich x pole jest większe niż 6 cm²

 

 

 

Rozwiążmy drugą nierówność: 

$x\left(7-x\right)<10$   

 

$7x-x^2<10$  

 

$-x^2+7x-10<0$  

 

Miejsca zerowe:

$-x^2+7x-10=0$  

$\Delta =7^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-10\right)=49-40=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

 

$x_1=\frac{-7-3}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-10}{-2}=5$  

 

$x_2=\frac{-7+3}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-4}{-2}=2$  

 

 

Naszkicujmy wykres funkcji  $f\left(x\right)=-x^2+7x-10$  

  

$x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(5,\infty \right)$     - dla takich x pole prostokąta jest mniejsze niż 10 cm²

 

 

Liczba x musi należeć jednocześnie do obu zbiorów.

Zaznaczmy oba te zbiory na osi liczbowej:

 

Czyli rozwiązaniem jest zbiór:

$x\in \left(1,2\right)\cup \left(5,6\right)$