Zauważmy, że liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

---

a) Sposób I.

Załóżmy, że liczba  $\sqrt{5}$   jest wymierna. 

$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$    gdzie a,b to liczby całkowite i liczba b jest różna od 0.

Przekształcamy otrzymane wyrażenie:

$\sqrt{5}=\frac{a}{b}{\mid }^2$  

$5=\frac{a^2}{b^2}$  

$5=\frac{a\cdot a}{b\cdot b}$  

$5\cdot b\cdot b=a\cdot a$  

 

Przypadek I.

Liczba a nie jest podzielna przez 5.

Lewa strona jest podzielna przez 5, a prawa strona nie jest podzielna przez 5. Otrzymujemy sprzeczność.

 

Przypadek II.

Liczba a jest podzielna przez 5.

Przypuśćmy, że liczby a i b rozłożyliśmy na czynniki pierwsze. W iloczynie po prawej stronie 5 występuje parzystą ilość razy (bo a jest podzielne przez 5).

W iloczynie po lewej stronie liczba 5 występuje nieparzystą ilość razy (niezależnie czy liczba b jest podzielna przez 5 czy nie jest).

Otrzymaliśmy sprzeczność z przyjętym założeniem.

 

Zatem liczba  $\sqrt{5}$  jest liczbą niewymierną.

Wobec tego liczba  $K=2+\sqrt{5}$   to suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej, czyli jest to liczba niewymierna.

Zatem pokazaliśmy, że liczba K ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

 

Sposób II.

Suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.

Zatem  $K=2+\sqrt{5}$    jest liczbą niewymierną.

---

b) Zauważmy, że:

$K=\frac{4-\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Uzasadnijmy, że liczba  $\frac{\sqrt{2}}{2}$   jest niewymierna.

W podręczniku (Przykład 1. strona 40) wykazano, że liczba  $\sqrt{2}$   jest liczbą niewymierną. 

Wiemy, że iloraz liczby niewymiernej przez liczbę wymierną jest liczbą niewymierną.

Zatem liczba  $\frac{\sqrt{2}}{2}$   jest liczbą niewymierną.

Różnica liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną, zatem liczba  $K=\frac{4-\sqrt{2}}{2}=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$   jest liczbą niewymierną.

---

c) Zauważmy, że:

W podręczniku (Przykład 2. strona 41) wykazano, że liczba  $\sqrt{3}$   jest liczbą niewymierną. 

Wiemy, że iloczyn liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.

Zatem liczba  $K=3\sqrt{3}$   jest liczbą niewymierną.

---

d) Zauważmy, że:

$K=\sqrt{2}+\sqrt{3}{\mid }^2$

$K^2={\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2$  

$K^2=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$  

$K^2={\sqrt{2}}^2+\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\sqrt{3}}^2$  

$K^2=2+\sqrt{6}+\sqrt{6}+3$  

$K^2=5+2\sqrt{6}$  

Liczba  $\sqrt{6}$   jest liczbą niewymierną.

Iloczyn liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.

Suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. 

Zatem liczba  $K^2=5+2\sqrt{6}$   jest liczbą niewymierną. 

Zatem liczba  $K=\sqrt{5+2\sqrt{6}}$   również jest liczbą niewymierną, ponieważ pierwiastek kwadratowy jest liczbą wymierną, gdy liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby całkowitej (Podręcznik strona 41).