$f\left(x\right)=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}$  

Określamy dziedzinę funkcji:

${\left(x-3\right)}^2\ge 0$  

Powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.

$D=R$  

---

Przekształcamy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\left|x-3\right|$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-3\right|=\{\begin{array}{l}x-3\text{dla}x\ge 3\\ -\left(x-3\right)\text{dla}x<3\end{array}$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x-3\text{dla}x\in ⟨3,+\infty )\\ -x+3\text{dla}x\in \left(-\infty ,3\right)\end{array}$  

---

Dla x₁, x₂ ∈ (-oo, 3) z nierówności x₁<x₂ wynika, że:

$x_1<x_2\mid \cdot \left(-1\right)$  

$-x_1>-x_2\mid +3$  

$-x_1+3>-x_2+3$  

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

---

Dla x₁, x₂ ∈ <3, +oo) z nierówności x₁<x₂ wynika, że:

$x_1<x_2\mid +3$  

$x_1+3<x_2+3$  

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

---

Podsumowując

• gdy x₁, x₂ ∈ (-oo, 3), to z nierówności x₁<x₂ wynika, że f(x₁)>f(x₂), czyli w przedziale (-oo, 3) funkcja f jest malejąca;
• gdy x₁, x₂ ∈ <3, +oo), to z nierówności x₁<x₂ wynika, że f(x₁)<f(x₂), czyli w przedziale <3, +oo) funkcja f jest rosnąca.