Oznaczmy tą liczbę naturalną jako n.

Reszta z dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 3 jest równa 2, zatem:

$n=3a+2,a\in \mathbb{N}$  

Reszta z dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 4 jest równa 1, zatem:

$n=4b+1,b\in \mathbb{N}$  

 

Reszta z dzielenia tej liczby przez 4 jest równa 1, zatem na pewno jest to liczba nieparzysta.

Możliwe reszty z dzielenia liczby nieparzystej przez 12 to: 1,3,5,7,9,11.

Rozpatrujemy zatem liczby: 12k+1, 12k+3, 12k+5, 12k+7, 12k+9, 12k+11 gdzie k∈C.

 

Zbadamy, jaka jest reszta z dzielenia każdej z wymieniony liczb przez 3 (interesuje nas reszta z dzielenia równa 2).

$12k+1=3\cdot 4k+1$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 1 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 2.

$12k+3=3\cdot 4k+3=3\cdot \left(4k+1\right)$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 0 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 2.

$12k+5=3\cdot 4k+3+2=3\cdot \left(4k+1\right)+2$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 2.

Zauważmy, że reszta z dzielenia tej liczby przez 4 wynosi 1, ponieważ:

$12k+5=4\cdot 3k+4+1=4\cdot \left(3k+1\right)+1$  

 

$12k+7=3\cdot 4k+3+3+1=3\cdot \left(4k+2\right)+1$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 1 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 2.

$12k+9=3\cdot 4k+3\cdot 3=3\cdot \left(4k+3\right)$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 0 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 2.

 

$12k+11=3\cdot 4k+3+3+3+2=3\cdot \left(4k+3\right)+2$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 2.

Zauważmy, że reszta z dzielenia tej liczby przez 4 nie wynosi 1, ponieważ:

$12k+11=4\cdot 3k+4+4+3=4\cdot \left(3k+2\right)+3$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 3 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 1.

 

Pokazaliśmy, że szukana liczba jest postaci 12k+5, zatem reszta z dzielenia tej liczby przez 12 jest równa 5.