a)

Dana jest funkcja określona wzorem

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-2x$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

Otrzymamy

$-\frac{1}{2}{x}^2-2x=0$

po wyciągnięciu wspólnego czynnika x przed nawias dostajemy

$x\left(-\frac{1}{2}x-2\right)=0$

iloczyn dwóch liczb jest równy zero, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest równa zero,

więc dostajemy

$x=0\text{lub}-\frac{1}{2}x-2=0$

$x=-4$      

zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe

$x_1=0,x_2=-4$

Zatem postać iloczynowa tej funkcji wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x-0\right)\left(x+4\right)$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x\left(x+4\right)$

---

b)

Dana jest funkcja określona wzorem

$f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2-1$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

Otrzymamy

${\left(x-3\right)}^2-1=0$

$x^2-6x+9-1=0$

$x^2-6x+8=0$

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2$

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4$       

zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe

$x_1=2,x_2=4$

Postać iloczynowa tej funkcji wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$  

---

c)

Dana jest funkcja określona wzorem

$f\left(x\right)=x^2+2x-3$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

Otrzymamy

$x^2+2x-3=0$

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$       

zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe

$x_1=-3,x_2=1$

Postać iloczynowa tej funkcji wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$  

---

d)

Dana jest funkcja określona wzorem

$f\left(x\right)=x^2-10x+25$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

Otrzymamy

$x^2-10x+25=0$

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0$

więc równanie ma jedno rozwiązanie

$x_0=-\frac{-10}{2}=\frac{10}{2}=5$      

zatem funkcja f ma jedno miejsce zerowe

$x_0=5$  

Postać iloczynowa tej funkcji wyraża się wzorem

$f\left(x\right)={\left(x-5\right)}^2$  

---

e)

Dana jest funkcja określona wzorem

$f\left(x\right)=-3x^2$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

Otrzymamy

$-3x^2=0$

więc

$x=0$   

czyli funkcja f ma jedno miejsce zerowe

$x_0=0$  

Postać iloczynowa tej funkcji wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=-3{\left(x-0\right)}^2$

$f\left(x\right)=-3x^2$

---

f)

Dana jest funkcja określona wzorem

$f\left(x\right)=-x^2+4$

Obliczmy miejsca zerowe tej funkcji. 

W tym celu rozwiążemy równanie f(x) = 0.

Otrzymamy

$-x^2+4=0$

$x^2=4$

po spierwiastkowaniu równania stronami otrzymujemy

$x=-2\text{lub}x=2$    

czyli funkcja f ma dwa miejsca zerowe

$x_1=-2,x_2=2$  

Postać iloczynowa tej funkcji wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=-\left(x+2\right)\left(x-2\right)$