a)

Dane jest równanie

$x^2+4x-5=0$

obliczmy wyróżnik △

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36>0$

równanie ma więc dwa rozwiązania x₁ i x_2, zakładamy, że są one całkowite. 

Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$

Zauważmy, że liczbę -5 możemy zapisać w postaci iloczynu liczb

$\text{1)}\left(-5\right)\cdot 1\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}-5+1=-4$  

$\text{2)}5\cdot \left(-1\right)\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}5+\left(-1\right)=4$  

zatem pierwiastkami tego równania są liczby 

$-5\text{i}1$  

---

b)

Dane jest równanie

$x^2-13x-14=0$

obliczmy wyróżnik △

$\Delta =b^2-4ac={\left(-13\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-14\right)=169+56=225>0$

równanie ma więc dwa rozwiązania x₁ i x₂, zakładamy, że są one całkowite. 

Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-13}{1}=13$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-14}{1}=-14$

Zauważmy, że liczbę -14 możemy zapisać w postaci iloczynu liczb

$\text{1)}\left(-14\right)\cdot 1\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}-14+1=-13$  

$\text{2)}14\cdot \left(-1\right)\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}14+\left(-1\right)=13$  

$\text{1)}\left(-7\right)\cdot 2\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}-7+2=-5$  

$\text{2)}7\cdot \left(-2\right)\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}7+\left(-2\right)=5$  

zatem pierwiastkami tego równania są liczby 

$-1\text{i}14$  

---

c)

Dane jest równanie

$x^2-7x+12=0$

obliczmy wyróżnik △

$\Delta =b^2-4ac={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1>0$

równanie ma więc dwa rozwiązania x₁ i x₂, zakładamy, że są one całkowite. 

Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{12}{1}=12$  

Zauważmy, że ponieważ iloczyn pierwiastków jest liczbą dodatnią, to pierwiastki muszą być tych samych znaków.

Dodatkowo skoro ich suma jest liczbą dodatnią to oba pierwiastki x₁ i x₂ muszą być dodatnie.

Zauważmy, że liczbę 12  możemy zapisać w postaci następujących iloczynów  liczb całkowitych dodatnich

$\text{1)}12\cdot 1\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}12+1=13$  

$\text{2)}6\cdot 2\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}6+2=8$  

$\text{3)}3\cdot 4\text{wtedy suma tych liczb jest roˊwna}3+4=7$  

zatem pierwiastkami tego równania są liczby 

$3\text{i}4$