Dane są zbiory 

$A_n=⟨3n,4n⟩$  

$B_n=⟨6+n,6+2n⟩$  

gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią. 

---

a)

Część wspólna zbiorów A_n i B_n będzie zbiorem jednoelementowym, gdy przeciwstawne końce przedziałów <3n,4n> i <6+n, 6+2n> będą równe.

Możliwe są więc przypadki: 

Przypadek I. 

Prawy koniec przedziału <3n,4n> i lewy koniec przedziału <6+n, 6+2n> są równe, czyli 

$4n=6+n$  

$3n=6\mid :3$  

$n=2$  

Przypadek II. 

Prawy koniec przedziału <6+n, 6+2n> i lewy koniec przedziału <3n,4n> są równe, czyli 

$6+2n=3n$  

$6=n$  

Zatem z przypadków I i II mamy 

$n\in \left\{2,6\right\}$  

---

b)

Część wspólna zbiorów A_n i B_n będzie przedziałem, gdy prawy (lub bez straty ogólności lewy) koniec jednego przedziału leży wewnątrz drugiego. 

Przypadek I. 

Prawy koniec przedziału <3n,4n> leży wewnątrz przedziału <6+n, 6+2n>. 

Poniższy rysunek ilustruje jak wówczas wygląda część wspólna zbiorów A_n i B_n

zatem mamy

$4n>6+n\text{i}4n<6+2n$  

$3n>62n<6$  

$n>2n<3$  

n jest liczbą naturalną dodatnią, czyli rozwiązaniem jest zbiór pusty. 

Przypadek II. 

Prawy koniec przedziału <6+n, 6+2n> leży wewnątrz przedziału <3n,4n>. 

Poniższy rysunek ilustruje jak wówczas wygląda część wspólna zbiorów A_n i B_n

zatem mamy

$6+2n>3n\text{i}6+2n<4n$  

$6>n6<2n$  

$3<n$  

n jest liczbą naturalną dodatnią, czyli

$n\in \left\{3,4,5\right\}$  

Zatem z przypadków I i II mamy 

$n\in \left\{3,4,5\right\}$  

---

c) 

Część wspólna zbiorów A_n i B_n będzie zbiorem pustym, gdy zachodzi jeden z poniższych przypadków. 

Przypadek I. 

Prawy koniec przedziału <3n,4n> będzie mniejszy niż lewy koniec przedziału <6+n, 6+2n>, czyli 

$4n<6+n$  

$3n<6$  

$n<2\text{i}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

czyli 

$n=1$  

Przypadek II. 

Prawy koniec przedziału <6+n, 6+2n> będzie mniejszy niż lewy koniec przedziału <3n,4n>, czyli 

$6+2n<3n$  

$6<n\text{i}n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

czyli 

$n=\left\{7,8,9,10,\dots \right\}$  

Zatem z przypadków I i II mamy 

$n\in \left\{1,7,8,9,10,\dots \right\}$