Oznaczmy:

x, y - długość i szerokość pierwszego prostokąta

k - skala podobieństwa pierwszego prostokąta do drugiego prostokąta

Wówczas:

kx, ky - długość i szerokość drugiego prostokąta

---

Rysunek pomocniczy:

---

Mamy do dyspozycji sto kwadratowych kartoników. Przyjmijmy, że powierzchnia jednego kartonika to 1 j². Wówczas suma pól prostokątów jest równa 100 j². Stąd:

$xy+kx\cdot ky=100$  

$xy+k^{2}xy=100$  

$xy\left(1+k^2\right)=100$  

Przyjmijmy, że chcemy by prostokąty były podobne w skali k=¹/₂. Wówczas:

$xy\left(1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)=100$  

$xy\left(1+\frac{1}{4}\right)=100$  

$xy\cdot \frac{5}{4}=100\mid \cdot \frac{4}{5}$  

$xy=\frac{400}{5}$  

$xy=80$  

Mamy do dyspozycji kwadratowe kartoniki, więc interesują nas naturalne rozwiązania powyższego równania i dodatkowo takie, by liczby kx i ky, czyli ¹/₂x i ¹/₂y, również były naturalne.

Liczby x i y muszą więc być parzyste i ich iloczyn musi być równy 80. Mogą to być na przykład:

• $x=2,y=40$  

Wówczas:

$\frac{1}{2}x=1,\frac{1}{2}y=20$  

• $x=4,y=20$  

Wówczas:

$\frac{1}{2}x=2,\frac{1}{2}y=10$  

• $x=8,y=10$  

Wówczas:

$\frac{1}{2}x=4,\frac{1}{2}y=5$  

---

Zatem, aby prostokąty były podobne, 100 jednakowych kartoników należy podzielić na:

• prostokąt o wymiarach 2 x 40 kartoników i prostokąt o wymiarach 1 x 20 kartoników,
• prostokąt o wymiarach 4 x 20 kartoników i prostokąt o wymiarach 2 x 10 kartoników,
• prostokąt o wymiarach 8 x 10 kartoników i prostokąt o wymiarach 4 x 5 kartoników.