Oznaczmy:

$\text{AB}:4x+y+3=0$  

$AC:x-y-8=0$  

$\text{BC}:x+4y-33=0$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych 4x+y+3=0 oraz x-y-8=0:

$\{\begin{array}{l}4x+y+3=0\\ x-y-8=0\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$5x-5=0$  

$5x=5\mid :5$  

$x=1$  

Podstawiamy x=1 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=1\\ 4x+y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ 4\cdot 1+y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ 4+y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y+7=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-7\end{array}$  

Zatem:

$A\left(1,-7\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych 4x+y+3=0 oraz x+4y-33=0:

$\{\begin{array}{l}4x+y+3=0\mid \cdot \left(-4\right)\\ x+4y-33=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-16x-4y-12=0\\ x+4y-33=0\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$-15x-45=0$  

$-15x=45\mid :\left(-15\right)$  

$x=-3$  

Podstawiamy x=-3 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 4x+y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ 4\cdot \left(-3\right)+y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ -12+y+3=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y-9=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=9\end{array}$  

Zatem:

$B\left(-3,9\right)$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych x-y-8=0 oraz x+4y-33=0:

$\{\begin{array}{l}x-y-8=0\mid \cdot 4\\ x+4y-33=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4x-4y-32=0\\ x+4y-33=0\end{array}$  

Dodajemy równania stronami.

$5x-65=0$  

$5x=65\mid :5$  

$x=13$  

Podstawiamy x=13 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

$\{\begin{array}{l}x=13\\ x+4y-33=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=13\\ 13+4y-33=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=13\\ 4y-20=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=13\\ 4y=20\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=13\\ y=5\end{array}$  

Zatem:

$C\left(13,5\right)$  

---

Rysunek pomocniczy:

---

Przekształcamy równania prostych do postaci kierunkowej:

• AB:

$4x+y+3=0$  

$y=-4x-3$  

• AC:

$x-y-8=0$  

$y=x-8$  

• BC:

$x+4y-33=0$  

$4y=-x+33\mid :4$  

$y=-\frac{1}{4}x+\frac{33}{4}$  

---

Zatem:

$a_{\text{AB}}=-4$  

$a_{\text{AC}}=1$  

$a_{\text{BC}}=-\frac{1}{4}$  

---

Obliczamy współczynniki kierunkowe wysokości trójkąta (iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1):

• $a_{\text{AB}}\cdot a_{\text{CD}}=-1$  

$-4\cdot a_{\text{CD}}=-1\mid :\left(-4\right)$  

$a_{\text{CD}}=\frac{1}{4}$  

• $a_{\text{AC}}\cdot a_{\text{BF}}=-1$  

$1\cdot a_{\text{BF}}=-1$  

$a_{\text{BF}}=-1$  

• $a_{\text{BC}}\cdot a_{\text{AE}}=-1$  

$-\frac{1}{4}\cdot a_{\text{AE}}=-1\mid \cdot \left(-4\right)$  

$a_{\text{AE}}=4$  

---

Wówczas równania prostych zawierających wysokości trójkąta przyjmują postaci:

$\text{CD}:y=\frac{1}{4}x+b_{\text{CD}}$  

$\text{BF}:y=-x+b_{\text{BF}}$  

$\text{AE}:y=4x+b_{\text{AE}}$  

---

Podstawiamy współrzędne punktu C(13, 5) do równania prostej CD i wyznaczamy b_CD:

$5=\frac{1}{4}\cdot 13+b_{\text{CD}}$  

$\frac{20}{4}=\frac{13}{4}+b_{\text{CD}}$  

$b_{\text{CD}}=\frac{7}{4}$  

---

Podstawiamy współrzędne punktu B(-3, 9) do równania prostej BF i wyznaczamy b_BF:

$9=-\left(-3\right)+b_{\text{BF}}$  

$9=3+b_{\text{BF}}$  

$b_{\text{BF}}=6$  

---

Podstawiamy współrzędne punktu A(1, -7) do równania prostej AE i wyznaczamy b_AE:

$-7=4\cdot 1+b_{\text{AE}}$  

$-7=4+b_{\text{AE}}$  

$b_{\text{AE}}=-11$  

---

Otrzymujemy:

$\text{CD}:y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}$  

$\text{BF}:y=-x+6$  

$\text{AE}:y=4x-11$  

---

Obliczamy współrzędne środków odcinków AB, AC i BC, korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka:

$S_{\text{AB}}=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{1-3}{2},\frac{-7+9}{2}\right)=\left(\frac{-2}{2},\frac{2}{2}\right)=\left(-1,1\right)$  

$S_{\text{AC}}=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)=\left(\frac{1+13}{2},\frac{-7+5}{2}\right)=\left(\frac{14}{2},\frac{-2}{2}\right)=\left(7,-1\right)$  

$S_{\text{BC}}=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)=\left(\frac{-3+13}{2},\frac{9+5}{2}\right)=\left(\frac{10}{2},\frac{14}{2}\right)=\left(5,7\right)$  

---

Sprawdzamy, czy środek odcinka AB należy do wysokości CD, czyli czy współrzędne punktu S_AB spełniają równanie prostej CD:

$L=1$  

$P=\frac{1}{4}\cdot \left(-1\right)+\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1,5$  

$L\ne P$  

---

Sprawdzamy, czy środek odcinka AC należy do wysokości BF, czyli czy współrzędne punktu S_AC spełniają równanie prostej BF:

$L=-1$  

$P=-7+6=-1$  

$L=P$  

---

Sprawdzamy, czy środek odcinka BC należy do wysokości AE, czyli czy współrzędne punktu S_BC spełniają równanie prostej AE:

$L=7$  

$P=4\cdot 5-11=20-11=9$  

$L\ne P$  

---

Otrzymaliśmy, że środek odcinka AC należy do wysokości poprowadzonej z wierzchołka B, więc wysokość BF jest symetralną boku AC, co należało dowieść.