Niech:

$\text{BC}:y=ax+b$  

Wysokość poprowadzona z wierzchołka A jest prostopadła do boku BC, więc:

$\text{AH}:y=-\frac{1}{a}x+c$  

---

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej BC:

$a=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{-3-1}{0-\left(-3\right)}=-\frac{4}{3}$  

---

Dla a=-⁴/₃ równana prostych BC i AH przyjmują postaci:

$\text{BC}:y=-\frac{4}{3}x+b$  

$\text{AH}:y=\frac{3}{4}x+c$  

---

Podstawiamy współrzędne punktu B(-3, 1) do równania prostej BC i wyznaczamy b:

$1=-\frac{4}{3}\cdot \left(-3\right)+b$  

$1=4+b$  

$b=-3$  

---

Podstawiamy współrzędne punktu A(1, 4) do równania prostej AH i wyznaczamy c:

$4=\frac{3}{4}\cdot 1+c$  

$4=\frac{3}{4}+c$  

$c=3\frac{1}{4}$  

---

Otrzymujemy:

$\text{BC}:y=-\frac{4}{3}x-3$  

$\text{AH}:y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}$  

---

Wyznaczamy współrzędne punktu H (punktu przecięcia prostych AH i BC):

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x-3\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$  

Podstawiamy y=³/₄x+¹³/₄ do pierwszego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}=-\frac{4}{3}x-3\mid \cdot 12\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9x+39=-16x-36\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}25x=-75\mid :25\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}\end{array}$  

Podstawiamy x=-3 do drugiego równania w układzie.

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=\frac{3}{4}\cdot \left(-3\right)+\frac{13}{4}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-\frac{9}{4}+\frac{13}{4}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=\frac{4}{4}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=1\end{array}$  

Otrzymaliśmy:

$H\left(-3,1\right)$  

Wynika stąd, że B=H, czyli trójkąt ABC jest prostokątny.

---

Obliczamy wysokość AH, korzystając ze wzoru na długość odcinka:

$\left|AH\right|=\sqrt{{\left(x_H-x_A\right)}^2+{\left(y_H-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3-1\right)}^2+{\left(1-4\right)}^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

---

Odp. Wysokość AH ma długość 5.