Przeprowadzimy dowód nie wprost. Przypuśćmy, że iloczyn $xy$  jest ujemny.

Iloczyn dwóch liczb jest ujemny, jeśli jedna z nich jest dodatnia, a druga ujemna.

Rozważymy dwa przypadki:

1.  $x>0\text{i}y<0$  

Lewa strona równości może przyjmować dwie wartości:

$\left|x+y\right|=\{\begin{array}{l}x+y\text{,}\text{gdy}x+y>0\\ -\left(x+y\right)\text{,}\text{gdy}x+y\le 0\end{array}$  

$\left|x+y\right|=\{\begin{array}{l}x+y\text{,}\text{gdy}x+y>0\\ -x-y\text{,}\text{gdy}x+y\le 0\end{array}$  

Prawa strona równości wynosi:

$\left|x\right|+\left|y\right|=x-y$  

Nie zachodzi równość. 

2.  $x<0\text{i}y>0$  

Lewa strona równości może przyjmować dwie wartości:

$\left|x+y\right|=\{\begin{array}{l}x+y\text{,}\text{gdy}x+y>0\\ -\left(x+y\right)\text{,}\text{gdy}x+y\le 0\end{array}$  

$\left|x+y\right|=\{\begin{array}{l}x+y\text{,}\text{gdy}x+y>0\\ -x-y\text{,}\text{gdy}x+y\le 0\end{array}$  

Prawa strona równości wynosi:

$\left|x\right|+\left|y\right|=-x+y$  

Nie zachodzi więc równość.

Oba przypadki doprowadziły do sprzeczności - nie zachodzi równość, gdy  $xy<0$ . Oznacza to, że   $xy\ge 0$ , co należało dowieść.