I liceum

I technikum

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Dwie proste nie mają ze sobą punktów wspólnych, gdy są równoległe. Proste y=a1​x+b1​iy=a2​x+b2​ &nbsp;są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Trójkąty wyznaczone przez dodatnie półosie układu współrzędnych i proste&nbsp; lik &nbsp;są prostokątne.&nbsp;

Proste y=a1​x+b1​(a1​=0)iy=a2​x+b2​ &nbsp;są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy: a2​=−a1​1​ &nbsp; Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest więc równy:

Współczynnik kierunkowy prostej o równaniu <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1504c9843ec9fb1fd6893face658520ff24228f9e8ec70c7a8d307f58abd8b03_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/1504c9843ec9fb1fd6893face658520ff24228f9e8ec70c7a8d307f58abd8b03_big.svg" type="image/svg+xml"></object> , przechodzącej przez punkty <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f3cc6a42f8652c6fa0d1856970afeede00dd6734869f962b9e87999f01343be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3f3cc6a42f8652c6fa0d1856970afeede00dd6734869f962b9e87999f01343be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> , gdzie <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b16fcb41e5f369390a9b498e5b20715568634a5013429f61b2a57e0ce264add8_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b16fcb41e5f369390a9b498e5b20715568634a5013429f61b2a57e0ce264add8_big.svg" type="image/svg+xml"></object> , jest równy:&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d3daca0fbdf68b07a8779dd4d23a05cdbd764b88d180b832328c76ea2b6c48b0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d3daca0fbdf68b07a8779dd4d23a05cdbd764b88d180b832328c76ea2b6c48b0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dane punkty. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/94663320fe1a1d46c70c06f8679e416646fcfaf70d5e38b5acd5a3217a4a977b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/94663320fe1a1d46c70c06f8679e416646fcfaf70d5e38b5acd5a3217a4a977b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Równanie tej prostej możemy zapisać w postaci: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2c5ec9b99c354ee29778470dcc90f1276d8eea2c58068af996d28b1268470bbf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2c5ec9b99c354ee29778470dcc90f1276d8eea2c58068af996d28b1268470bbf_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Do powyższego równania wstawiamy współrzędne jednego z tych puntów i wyznaczamy wyraz wolny&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3e23e8160039594a33894f6564e1b1348bbd7a0088d42c4acb73eeaed59c009d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3e23e8160039594a33894f6564e1b1348bbd7a0088d42c4acb73eeaed59c009d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> . <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/af5e044e60366ba3bce933dd3a7bc3c9e29643fa8f1be35980c56b62a4dafa9a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/af5e044e60366ba3bce933dd3a7bc3c9e29643fa8f1be35980c56b62a4dafa9a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2bf71049c82a0a20553d33d0719317f35fc92552cb43389f873743877ca3542d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2bf71049c82a0a20553d33d0719317f35fc92552cb43389f873743877ca3542d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Funkcja dana jest równaniem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/81ff6f58cbadf256a3f040e91b3b3e0c789748f0fb030d88c151ffe882ca2a35_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/81ff6f58cbadf256a3f040e91b3b3e0c789748f0fb030d88c151ffe882ca2a35_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Dwie proste nie mają ze sobą punktów wspólnych, gdy są równoległe. Proste <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2b3646e25aa753e178d5910ec7cf1ffe5f802961339687dd7e501601072705b3_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2b3646e25aa753e178d5910ec7cf1ffe5f802961339687dd7e501601072705b3_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

Trójkąty wyznaczone przez dodatnie półosie układu współrzędnych i proste&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/298c8e87f813b19d66ec6d697cd9cd2e200f78c666a2411ef03b0333d8481988_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/298c8e87f813b19d66ec6d697cd9cd2e200f78c666a2411ef03b0333d8481988_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;są prostokątne.&nbsp;

Proste <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bceef08216a8f9461e5f2d93e6bba4e3838641129bf0648b7eff3b4096af7311_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bceef08216a8f9461e5f2d93e6bba4e3838641129bf0648b7eff3b4096af7311_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b24d8192a9207190b2f18e501c47f84b29906ef7989da2c1f91905c639a740dc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b24d8192a9207190b2f18e501c47f84b29906ef7989da2c1f91905c639a740dc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej prostej jest więc równy:

Komentarze