Obliczamy najpierw ile wynosi wartość każdego z podanych logarytmów. 

Korzystamy z definicji logarytmu. 

${\log }_5\sqrt{5}=a$  

$5^a=\sqrt{5}$  

$5^a=5^{\frac{1}{2}}$  

zatem: 

$a=\frac{1}{2}$  

${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}=b$  

${\sqrt{5}}^b=\frac{1}{5}$  

${\left(5^{\frac{1}{2}}\right)}^b=5^{-1}$  

$5^{\frac{1}{2}b}=5^{-1}$  

zatem: 

$\frac{1}{2}b=-1\mid \cdot 2$

$b=-2$   

$\log \sqrt[3]{10}=c$  

${10}^c=\sqrt[3]{10}$  

${10}^c={10}^{\frac{1}{3}}$  

zatem: 

$c=\frac{1}{3}$  

${\log }_2\sqrt{8}=d$  

$2^d=\sqrt{8}$  

$2^d=8^{\frac{1}{2}}$  

$2^d={\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}}$  

$2^d=2^{\frac{3}{2}}$  

zatem: 

$d=\frac{3}{2}$  

 

Liczby w kolejności rosnącej to: 

$-2<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<\frac{3}{2}$  

czyli: 

${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}<\log \sqrt[3]{10}<{\log }_5\sqrt{5}<{\log }_2\sqrt{8}$