a) Przypuśćmy że liczba x jest rozwiązaniem równania:

Jeśli dwie liczby są równe, to równe są także ich kwadraty. Stąd otrzymujemy:

Metoda analizy starożytnych nie dba o sprawdzenie na początku, dla jakich x wyrażenia występujące w początkowym równaniu są dobrze postawione. Ponadto, rozwiązując równanie, stosuje się przekształcenia, które nie zapewniają równoważności równań, a tylko implikację. Dlatego sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają wyjściowe równanie.

Dla x=0 mamy:

Dla x=3 mamy:

Zatem wyjściowe równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x=0.

b) Przypuśćmy że liczba x jest rozwiązaniem równania:

Jeśli dwie liczby są równe, to równe są także ich kwadraty. Stąd otrzymujemy:

Metoda analizy starożytnych nie dba o sprawdzenie na początku, dla jakich x wyrażenia występujące w początkowym równaniu są dobrze postawione. Ponadto, rozwiązując równanie, stosuje się przekształcenia, które nie zapewniają równoważności równań, a tylko implikację. Dlatego sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają wyjściowe równanie.

Dla x=0 mamy:

Dla x=17/16 mamy:

Zatem wyjściowe równanie ma tylko jedno rozwiązanie: x=0.

c) Przypuśćmy że liczba x spełnia równanie:

Mnożymy obie strony równania przez (x-2). Nie zapewnia to równoważności równań, gdyż x-2 może być równe 0, a wtedy z równości, która może nie być prawdziwa, otrzymamy równość prawdziwą 0=0. Jeśli jednak x spełnia początkowe równanie, to tym bardziej spełnia równanie:

Przekształcamy je dalej równoważnie:

Dla x=2 mamy po lewej i po prawej stronie równania dzielenie przez 0, które nie jest wykonalne, więc równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań).