Wyznacz wartości wyrażeń...- Zadanie 6: Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1

Rozwiązanie

$a) \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - 7 x y + 2 y ^{2}}$

jeśli:

$\frac{x - 5 y}{y} = 3$

zatem:

$x - 5 y = 3 y$

$x = 8 y$

więc:

$\frac{( 8 y ) ^{2} + y ^{2}}{( 8 y ) ^{2} - 7 \cdot 8 y \cdot y + 2 y ^{2}} = \frac{64 y ^{2} + y ^{2}}{64 y ^{2} - 56 y ^{2} + 2 y ^{2}} = \frac{65 y ^{2}}{10 y ^{2}} = 6, 5$

$b) \frac{x - y}{y - x}$

jeśli:

$\frac{x y - 2 x ^{2} - y ^{2}}{2 y ^{2} - 10 x y + 5 x ^{2}} = \frac{1}{2}$

zatem:

$2 (x y - 2 x^{2} - y^{2}) = 2 y^{2} - 10 x y + 5 x^{2}$

$2 x y - 4 x^{2} - 2 y^{2} = 2 y^{2} - 10 x y + 5 x^{2}$

$- 9 x^{2} + 12 x y - 4 y^{2} = 0$

$- (9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}) = 0$

$(3 x - 2 y)^{2} = 0$

$3 x - 2 y = 0$

$3 x = 2 y$

$y = \frac{3}{2} x$

więc:

$\frac{x - y}{y - x} = \frac{x - \frac{3}{2} x}{\frac{3}{2} x - x} = \frac{- \frac{1}{2} x}{\frac{1}{2} x} = - 1$

$c) \frac{( x ^{3} - y ^{3} ) ( x + y )}{( x ^{3} + y ^{3} ) ( x - y )}$

jeśli:

$x = 2 + 1, y = 2 - 1$

zatem:

$\frac{( x ^{3} - y ^{3} ) ( x + y )}{( x ^{3} + y ^{3} ) ( x - y )} = \frac{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} ) ( x + y )}{( x + y ) ( x ^{2} - x y + y ^{2} ) ( x - y )} = \frac{x ^{2} + x y + y ^{2}}{x ^{2} - x y + y ^{2}}$

więc:

$\frac{x ^{2} + x y + y ^{2}}{x ^{2} - x y + y ^{2}} = \frac{( 2 + 1 ) ^{2} + ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) + ( 2 - 1 ) ^{2}}{( 2 + 1 ) ^{2} - ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) + ( 2 - 1 ) ^{2}} =$

$= \frac{2 + 2 2 + 1 + 2 - 1 + 2 - 2 2 + 1}{2 + 2 2 + 1 - ( 2 - 1 ) + 2 - 2 2 + 1} = \frac{7}{5} = 1, 4$