Zgodnie z treścią zadania otrzymujemy wyrażenie:

$f\left(a\right)=a+a^2-a^3$  

---

a) Zał: a>0

Aby wyznaczyć największą wartość otrzymanego wyrażenia wyznaczmy pochodną funkcji f, a następnie wyznaczmy ekstremum tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(a\right)=1+2a-3a^2$  

Sprawdźmy kiedy f'(a)=0.

  $-3a^2+2a+1=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 1=4+12=16$  

$a_1=\frac{-2-4}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-6}{-6}=1$  

$a_2=\frac{-2+4}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}\text{sprzecznosˊcˊ}$  

Sprawdźmy kiedy f'(a)>0.

$-3a^2+2a+1>0$  

$-3\left(a-1\right)\left(a+\frac{1}{3}\right)>0$  

$\left(a-1\right)\left(a+\frac{1}{3}\right)<0$  

$a\in \left(-\frac{1}{3},1\right)$  

Zatem funkcja jest rosnąca na powyższym przedziale.

Wobec tego dla a=1 funkcja ma maksimum lokalne.

 

Odp. Dla a=1 wartość tego wyrażenia jest największa.

---

b) Zał: a∈R

Wyznaczmy granicę funkcji f na końcach dziedziny.

$\underset{a\to +\infty }{\lim }f\left(a\right)=\underset{a\to +\infty }{\lim }\left(a+a^2-a^3\right)=\underset{a\to +\infty }{\lim }{a}^3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}-1\right)=+\infty \cdot \left(-1\right)=-\infty$  

$\underset{a\to -\infty }{\lim }f\left(a\right)=\underset{a\to -\infty }{\lim }\left(a+a^2-a^3\right)=\underset{a\to -\infty }{\lim }{a}^3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a}-1\right)=-\infty \cdot \left(-1\right)=+\infty$  

Zatem funkcja nie jest ograniczona, zatem nie istnieje liczba a spełniająca warunki zadania.