a)

$m=5^6+2^{12}$  

$n=5^{12}-2^{24}={\left(5^6\right)}^2-{\left(2^{12}\right)}^2=\left(5^6-2^{12}\right)\left(5^6+2^{12}\right)$       

Wystarczy określić, czy liczba 5⁶-2¹² jest dodatnia czy ujemna.  

Zauważmy, że:

$5^6-2^{12}={\left(5^3\right)}^2-{\left(2^6\right)}^2=\left(5^3-2^6\right)\left(5^3+2^6\right)=\left(125-64\right)\left(5^3+2^6\right)=61\cdot \left(5^3+2^6\right)$  

Zatem jest to liczba dodatnia.

Łatwo zauważyć, że:

$5^6+2^{12}<\left(5^6-2^{12}\right)\left(5^6+2^{12}\right)$  

Zatem otrzymujemy:

$m<n$  

---

b)

$m=4^{12}-9^6={\left(2^2\right)}^{12}-{\left(3^2\right)}^6={\left(2^{12}\right)}^2-{\left(3^6\right)}^2=\left(2^{12}-3^6\right)\left(2^{12}+3^6\right)$  

$n=2^{12}+3^6$  

Wystarczy określić, czy liczba 2¹²-3⁶ jest dodatnia czy ujemna.

Zauważmy, że:

$2^{12}-3^6={\left(2^6\right)}^2-{\left(3^3\right)}^2=\left(2^6-3^3\right)\left(2^6+3^3\right)=\left(64-27\right)\left(2^6+3^3\right)=37\cdot \left(2^6+3^3\right)$  

Zatem jest to liczba dodatnia.

Łatwo zauważyć, że:

$\left(2^{12}-3^6\right)\left(2^{12}+3^6\right)>2^{12}+3^6$  

Zatem otrzymujemy:

$m>n$