a) Sprawdzamy czy funkcja ma ekstrema lokalne.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-3\cdot 2x+9$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2-6x+9$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2$  

Zatem x=3 jest punktem krytycznym. 

Sprawdźmy kiedy f'(x)>0.

${\left(x-3\right)}^2>0$  

$x\in \mathbb{R}-\left\{3\right\}$  

Budujemy tabelkę.

$x$	$\left(-\infty ,3\right)$	$3$	$\left(3,+\infty \right)$
$f\left(x\right)$	rosnąca	X	rosnąca

$f\left(2\right)=\frac{1}{3}\cdot 2^3-3\cdot 2^2+9\cdot 2-7\frac{2}{3}=\frac{8}{3}-12+18-7\frac{2}{3}=6+2\frac{2}{3}-7\frac{2}{3}=6-5=1$  

$f\left(5\right)=\frac{1}{3}\cdot 5^3-3\cdot 5^2+9\cdot 5-7\frac{2}{3}=\frac{125}{3}-75+45-7\frac{2}{3}=$  

$=41\frac{2}{3}-30-7\frac{2}{3}=34-30=4$  

 

Zatem otrzymujemy:

$Z{W}_f=⟨1,4⟩$  

---

b) Sprawdźmy czy funkcja ma ekstrema lokalne.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-\frac{1}{2}\cdot 2x-6$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2-x-6$  

Wyznaczmy punkty krytyczne.

$x^2-x-6=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Sprawdźmy kiedy f'(x)>0.

$x^2-x-6>0$  

$\left(x+2\right)\left(x-3\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

Budujemy tabelkę.

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,3\right)$	$3$	$\left(3,+\infty \right)$
$f\left(x\right)$	rosnąca	maksimum lokalne	malejąca	minimum lokalne	rosnąca

Zauważmy, że  $3\notin \left(-3,2\right)$  

Obliczmy wartości funkcji f w punkcie krytycznym x=-2. 

$f\left(-2\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)+4\frac{2}{3}=$  

$=-\frac{8}{3}-2+12+4\frac{2}{3}=-2\frac{2}{3}+10+4\frac{2}{3}=12$  

 

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2-6\cdot \left(-3\right)+4\frac{2}{3}=$  

$=-9-\frac{9}{2}+18+4\frac{2}{3}=9-4\frac{1}{2}+4\frac{2}{3}=4\frac{1}{2}+4\frac{2}{3}=4\frac{3}{6}+4\frac{4}{6}=8\frac{7}{6}=9\frac{1}{6}$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{2}\cdot 2^2-6\cdot 2+4\frac{2}{3}=$  

$=\frac{8}{3}-2-12+4\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}+4\frac{2}{3}-14=7\frac{1}{3}-14=-6\frac{2}{3}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$Z{W}_f=(-6\frac{2}{3},12⟩$  

---

c) Sprawdźmy czy funkcja ma ekstrema lokalne.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-2\cdot 3x^2-2\cdot 2x+24$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^3-6x^2-4x+24$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^2\left(x-6\right)-4\left(x-6\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x^2-4\right)\left(x-6\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-6\right)$  

Zatem punkty krytyczne to x=2, x=-2, x=6.

Sprawdźmy kiedy f'(x)>0.

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-6\right)>0$  

$x\in \left(-2,2\right)\cup \left(6,+\infty \right)$  

 

Budujemy tabelkę.

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,2\right)$	$2$	$\left(2,6\right)$	$6$	$\left(6,+\infty \right)$
$f\left(x\right)$	malejąca	minimum lokalne	rosnąca	maksimum lokalne	malejąca	minimum lokalne	rosnąca

Zauważmy, że  $-2\notin (0,7⟩$  

Obliczmy wartości funkcji f w punkcie krytycznym x=2 i x=6. 

$f\left(2\right)=\frac{1}{4}\cdot 2^4-2\cdot 2^3-2\cdot 2^2+24\cdot 2+10=4-16-8+48+10=38$  

$f\left(6\right)=\frac{1}{4}\cdot 6^4-2\cdot 6^3-2\cdot 6^2+24\cdot 6+10=\frac{1296}{4}-432-72+144+10=$  

$=324-432-72+144+10=-26$  

 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot 0^4-2\cdot 0^3-2\cdot 0^2+24\cdot 0+10=10$  

$f\left(7\right)=\frac{1}{4}\cdot 7^4-2\cdot 7^3-2\cdot 7^2+24\cdot 7+10=\frac{2401}{4}-686-98+168+10=$  

$=600\frac{1}{4}-686-98+10=-5\frac{3}{4}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$Z{W}_f=⟨-26,38⟩$  

---

d) Sprawdźmy czy funkcja ma ekstrema lokalne.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot 4x^3+\frac{1}{3}\cdot 3x^2-\frac{5}{2}\cdot 2x+3$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^3+x^2-5x+3$  

Wyznaczmy punkty krytyczne.

$x^3+x^2-5x+3=0$  

Łatwo zauważyć, że jednym z rozwiązań jest x=1.

$\left(x-1\right)\left(x^2+2x-3\right)=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

${\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)=0$  

$x=1\vee x=-3$  

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)>0.

${\left(x-1\right)}^2\left(x+3\right)>0$  

$x+3>0$  

$x>-3$  

 

Budujemy tabelkę.

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,1\right)$	$1$	$\left(1,+\infty \right)$
$f\left(x\right)$	malejąca	minimum lokalne	rosnąca	X	rosnąca

Zauważmy, że  $-3\notin \left(-2,2\right)$  

 

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^4+\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{5}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+6=$  

$=4-\frac{8}{3}-10-6+6=4-2\frac{2}{3}-10=-8\frac{2}{3}$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot 2^4+\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{5}{2}\cdot 2^2+3\cdot 2+6=$  

$=4+\frac{8}{3}-10+6+6=6+2\frac{2}{3}=8\frac{2}{3}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$Z{W}_f=\left(-8\frac{2}{3},8\frac{2}{3}\right)$