$f\left(x\right)=x\sqrt{x}-6x+3$  

$D_f=⟨0,+\infty )$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x{}^{\prime }\cdot \sqrt{x}+x\cdot \left(\sqrt{x}\right){}^{\prime }-6$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-6$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-6$  

$D_f{}^{\prime }=\left(0,+\infty \right)$  

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)=0.

$\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-6=0\mid \cdot \sqrt{x}$  

$x+\frac{1}{2}x-6\sqrt{x}=0$  

$\frac{3}{2}x-6\sqrt{x}=0$  

$\sqrt{x}\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}-6\right)=0$  

$\sqrt{x}=0\vee \frac{3}{2}\sqrt{x}-6=0$  

$x=0\notin D_f{}^{\prime }\vee \frac{3}{2}\sqrt{x}=6\mid :\frac{3}{2}$  

$\sqrt{x}=6\cdot \frac{2}{3}$  

$\sqrt{x}=4{\mid }^2$  

$x=16$  

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)>0.

$\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-6>0\mid \cdot \sqrt{x}$  

$x+\frac{1}{2}x-6\sqrt{x}>0$  

$\frac{3}{2}x-6\sqrt{x}>0$  

$\sqrt{x}\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}-6\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(16,+\infty \right)\wedge x>0$  

$x\in \left(16,+\infty \right)$  

 

Budujemy tabelkę.

$x$	$⟨0,16)$	$16$	$\left(16,+\infty \right)$
$f\left(x\right)$	malejąca	minimum lokalne	rosnąca

 

$f_{\min }\left(16\right)=16\sqrt{16}-6\cdot 16+3=16\cdot 4-96+3=64-96+3=-29$