$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+2},x\ne -2$  

Punkt P(x₀, -9) należy do wykresu funkcji f, zatem 

$f\left(x_0\right)=-9$  

$\frac{x_0^2}{x_0+2}=-9$  

$x_0^2=-9\left(x_0+2\right)$  

$x_0^2=-9x_0-18\mid +9x_0+18$     

$x_0^2+9x_0+18=0$  

$\Delta =9^2-4\cdot 1\cdot 18=81-72=9$  

$x_0=\frac{-9-3}{2}=\frac{-12}{2}=-6$  

lub

$x_0=\frac{-9+3}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

zatem rozważamy styczną w punktach

$P_1\left(-6,-9\right),P_2=\left(-3,-9\right)$  

---

Funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze R\{-2}.

Wyznaczamy pochodną tej funkcji 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2{}^{\prime }\left(x+2\right)-x^2\left(x+2\right){}^{\prime }}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{\left(2x\right)\left(x+2\right)-x^2\cdot 1}{{\left(x+2\right)}^2}=$

  $=\frac{2x^2+4x-x^2}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{x^2+4x}{{\left(x+2\right)}^2}$  

---

Przypadek I.

$\underline{\underline{P_1\left(-6,-9\right)}}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f w punkcie P₁

$f{}^{\prime }\left(-6\right)=\frac{{\left(-6\right)}^2+4\cdot \left(-6\right)}{{\left(-6+2\right)}^2}=\frac{36-24}{{\left(-4\right)}^2}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$  

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P₁:

$y=f{}^{\prime }\left(-6\right)\left(x+6\right)+f\left(-6\right)=\frac{3}{4}\left(x+6\right)-9=\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}-9=\frac{3}{4}x-4\frac{1}{2}$  

Obliczamy ile punktów wspólnych z wykresem funkcji f ma styczna y = ³/₄x - 4 ¹/₂

$\frac{x^2}{x+2}=\frac{3}{4}x-4\frac{1}{2}$  

$\frac{x^2}{x+2}=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}$  

$\frac{x^2}{x+2}=\frac{3x-18}{4}$  

$4x^2=\left(x+2\right)\left(3x-18\right)$  

$4x^2=3x^2-18x+6x-36\mid -4x^2$  

$0=-x^2-12x-36\mid :\left(-1\right)$  

$0=x^2+12x+36$  

$\Delta ={12}^2-4\cdot 1\cdot 36=144-144=0$  

$x=\frac{-12}{2}=-6$  

Zatem istnieje jeden punkt wspólny. 

---

Przypadek II.

$\underline{\underline{P_2\left(-3,-9\right)}}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f w punkcie P₂

$f{}^{\prime }\left(-6\right)=\frac{{\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)}{{\left(-3+2\right)}^2}=\frac{9-12}{{\left(-1\right)}^2}=-3$  

Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P₂:

$y=f{}^{\prime }\left(-3\right)\left(x+3\right)+f\left(-3\right)=-3\left(x+3\right)-9=-3x-9-9=-3x-18$  

Obliczamy ile punktów wspólnych z wykresem funkcji f ma styczna y = -3x-18

$\frac{x^2}{x+2}=-3x-18$  

$x^2=\left(-3x-18\right)\left(x+2\right)$  

$x^2=-3x^2-6x-18x-36\mid -x^2$  

$0=-4x^2-24x-36\mid :\left(-4\right)$  

$0=x^2+6x+9$  

$0={\left(x+3\right)}^2$  

$x=-3$  

Zatem istnieje jeden punkt wspólny.