$f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)+p$  

Zał:

$x-1>0$  

$x>1$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$f\left(3\frac{1}{4}\right)=3$  

Zatem otrzymujemy:

$3={\log }_{\frac{2}{3}}\left(3\frac{1}{4}-1\right)+p$  

$3={\log }_{\frac{2}{3}}\left(2\frac{1}{4}\right)+p$  

$3={\log }_{\frac{2}{3}}\left(\frac{9}{4}\right)+p$  

$3={\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}+p$  

$3=-2+p\mid +2$  

$5=p$  

 

Zatem wzór funkcji f jest postaci:

$f\left(x\right)={\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)+5$  

---

a) Wyznaczmy argument, dla którego wartość funkcji f wynosi 6.

$6={\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)+5\mid -5$  

$1={\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)$  

$\frac{2}{3}=x-1\mid +1$  

$1\frac{2}{3}=x$  

---

b) Wyznaczmy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 1.

$f\left(x\right)<1$  

${\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)+5<1\mid -5$  

${\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)<-4$  

${\log }_{\frac{2}{3}}\left(x-1\right)<{\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-4}$  

$x-1>{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-4}$  

$x-1>{\left(\frac{3}{2}\right)}^4$  

$x-1>\frac{81}{16}\mid +1$  

$x>5\frac{1}{16}+1$  

$x>6\frac{1}{16}$  

$x\in \left(6\frac{1}{16},+\infty \right)$