Rozwiąż nierówności:- Zadanie 1.160: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Zał:

$x > 0 \land 5 - lo g x \neq = 0 \land lo g x + 1 \neq = 0$

$x > 0 \land lo g x \neq = 5 \land lo g x \neq = - 1$

$x > 0 \land x \neq = 10^{5} \land x \neq = \frac{1}{10}$

Podstawiając $lo g x = t$ otrzymujemy:

$\frac{1}{5 - t} + \frac{2}{t + 1} < 1 ∣ \cdot (5 - t)^{2} (t + 1)^{2}$

$(5 - t) (t + 1)^{2} + 2 (t + 1) (5 - t)^{2} < (5 - t)^{2} (t + 1)^{2} ∣ - (5 - t)^{2} (t + 1)^{2}$

$(5 - t) (t + 1)^{2} + 2 (t + 1) (5 - t)^{2} - (5 - t)^{2} (t + 1)^{2} < 0$

$(5 - t) (t + 1) \cdot [t + 1 + 2 (5 - t) - (5 - t) (t + 1)] < 0$

$(5 - t) (t + 1) \cdot [t + 1 + 10 - 2 t - (5 t + 5 - t^{2} - t)] < 0$

$- (t - 5) (t + 1) \cdot [- t + 11 - 4 t - 5 + t^{2}] < 0 ∣ : (- 1)$

$(t - 5) (t + 1) {t^{2} - 5 t + 6) > 0$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$t_{1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$(t - 5) (t + 1) (t - 2) (t - 3) > 0$

$t \in (- \infty, - 1) \cup (2, 3) \cup (5, + \infty)$

Zatem otrzymujemy:

$t < - 1 \lor 2 < t < 3 \lor t > 5$

$lo g x < - 1 \lor 2 < lo g x < 3 \lor lo g x > 5$

$x < \frac{1}{10} \lor 100 < x < 1000 \lor x > 10^{5}$

$x \in (- \infty, \frac{1}{10}) \cup (100, 1000) \cup (10^{5}, + \infty)$

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x \in (0, \frac{1}{10}) \cup (100, 1000) \cup (10^{5}, + \infty)$

b) Zał:

$x > 0 \land lo g_{2} x \neq = 0 \land lo g_{2} x - 1 \neq = 0$

$x > 0 \land x \neq = 1 \land lo g_{2} x \neq = 1$

$x > 0 \land x \neq = 1 \land x \neq = 2$

Podstawiając $lo g_{2} x = t$ otrzymujemy:

$\frac{1}{t} < 1 + \frac{1}{t - 1} ∣ \cdot t^{2} (t - 1)^{2}$

$t (t - 1)^{2} < t^{2} (t - 1)^{2} + t^{2} (t - 1) ∣ - t (t - 1)^{2}$

$0 < t^{2} (t - 1)^{2} + t^{2} (t - 1) - t (t - 1)^{2}$

$0 < t (t - 1) \cdot [t (t - 1) + t - (t - 1)]$

$0 < t (t - 1) \cdot [t^{2} - t + t - t + 1]$

$0 < t (t - 1) (t^{2} - t + 1)$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 < 0$

$0 < t (t - 1)$

$t \in (- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

Zatem otrzymujemy:

$t < 0 \lor t > 1$

$lo g_{2} x < 0 \lor lo g_{2} x > 1$

$lo g_{2} x < lo g_{2} 1 \lor lo g_{2} x > lo g_{2} 2$

$x < 1 \lor x > 2$

$x \in (- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x \in (0, 1) \cup (2, + \infty)$

c) Zał:

$x > 0 \land lo g_{2} x - 4 \neq = 0 \land lo g_{2} x \neq = 0$

$x > 0 \land lo g_{2} x \neq = 4 \land x \neq = 1$

$x > 0 x \neq = 16 \land x \neq = 1$

Podstawiając $lo g_{2} x = t$ otrzymujemy:

$\frac{1}{t - 4} > \frac{1}{t} ∣ \cdot (t - 4)^{2} t^{2}$

$t^{2} (t - 4) > t (t - 4)^{2} ∣ - t (t - 4)^{2}$

$t^{2} (t - 4) - t (t - 4)^{2} > 0$

$t (t - 4) \cdot [t - (t - 4)] > 0$

$t (t - 4) \cdot 4 > 0$

$t \in (- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$

Zatem otrzymujemy:

$t < 0 \lor t > 4$

$lo g_{2} x < 0 \lor lo g_{2} x > 4$

$lo g_{2} x < lo g_{2} 1 \lor lo g_{2} x > lo g_{2} 16$

$x < 1 \lor x > 16$

$x \in (- \infty, 1) \cup (16, + \infty)$

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x \in (0, 1) \cup (16, + \infty)$

d) Zał:

$x > 0 \land lo g_{3} x - 2 \neq = 0 \land lo g_{3} x \neq = 0$

$x > 0 \land lo g_{3} x \neq = 2 \land x \neq = 1$

$x > 0 \land x \neq = 9 \land x \neq = 1$

Podstawiając $lo g_{3} x = t$ otrzymujemy:

$\frac{1}{t - 2} - \frac{1}{t} > 0 ∣ \cdot (t - 2)^{2} t^{2}$

$t^{2} (t - 2) - t (t - 2)^{2} > 0$

$t (t - 2) \cdot [t - (t - 2)] > 0$

$t (t - 2) \cdot 2 > 0$

$t \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

Zatem otrzymujemy:

$t < 0 \lor t > 2$

$lo g_{3} x < 0 \lor lo g_{3} x > 2$

$lo g_{3} x < lo g_{3} 1 \lor lo g_{3} x > lo g_{3} 9$

$x < 1 \lor x > 9$

$x \in (- \infty, 1) \cup (9, + \infty)$

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x \in (0, 1) \cup (9, + \infty)$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.